\[
G(z)=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-\frac{T}{\tau}})}{(z-1)^2(z-\mathrm{e}^{-\frac{T}{\tau}})}
\]
针对单位斜坡输入设计最少拍系统,闭环误差脉冲传递函数为
\[
\Phi_e(z)=(1-z^{-1})^2=\frac{(z-1)^2}{z^2}
\]
\[
D_2(z)=\frac{1-\Phi_e(z)}{G(z)\Phi_e(z)}=\frac{(2z-1)(z-\mathrm{e}^{-\frac{T}{\tau}})}{Kz(1-\mathrm{e}^{-\frac{T}{\tau}})}
\]
\[
D(z)=\frac{(2z-1)(z-\mathrm{e}^{-\frac{T}{\tau}})}{Kz(z-1)(1-\mathrm{e}^{-\frac{T}{\tau}})}
\]
则有闭环脉冲传递函数为
\[
\Phi(z)=\frac{2z-1}{z^2}
\]
其中,系数\(K\)和\(\tau\)不影响系统稳定性,系统单位斜坡响应曲线如图7-29所示。
图7-29 系统单位斜坡响应(MATLAB)
MATLAB文本:exe724.m
T=1;
t=0:1:10;
sys=tf([2,-1],[1,0,0],T); %定义闭环脉冲传递函数
u=t; %定义系统输入
lsim(sys,u,t,0); %绘制系统时间响应曲线
grid;
7-25 已知系统的结构图如图7-30所示。欲使系统具有\(\nu=1\),并在有限拍结束过渡过程,求校正装置形式。
图7-30 闭环采样系统结构图
解 待校正系统开环脉冲传递函数为
\[
G(z)=\mathcal{Z}\left[\frac{K(1-\mathrm{e}^{-Ts})}{s^2(\tau s+1)}\right]=K(1-z^{-1})\mathcal{Z}\left[\frac{\dfrac{1}{\tau}}{s^2\left(s+\dfrac{1}{\tau}\right)}\right]
\]
\[
=K(1-z^{-1})\mathcal{Z}\left[\frac{1}{s^2}-\frac{\tau}{s}+\frac{\tau}{s+\dfrac{1}{\tau}}\right]
\]
\[
=\frac{K\left[(1-\tau+\tau \mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}})z+(\tau-\tau \mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}}-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}})\right]}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}})}
\]
因为期望的系统为Ⅰ型系统,则开环脉冲传递函数应有一个\(z=1\)的极点,正好满足要求。
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