根据
\[\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},\qquad M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\]
联立求解得
\[\zeta_1=0.866,\qquad \zeta_2=0.5\]
因系统产生谐振峰值时,要求 \(\zeta\leqslant 0.707\),所以舍去 \(\zeta_1=0.866\) 的解。于是
\[\zeta=0.5,\qquad \omega_n=\frac{\omega_r}{\sqrt{1-2\zeta^2}}=10\]
由 \(t_s=\dfrac{3.5}{\zeta\omega_n}\),得 \(t_s=0.7(\Delta=5\%)\)。
由 \(\sigma\%=100e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\%\),得 \(\sigma\%=16.3\%\)。
(2) 求 \(\omega_c\) 和 \(\gamma\)。
\[\omega_c=\omega_n\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}=7.86\]
\[\gamma=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}}=51.83^\circ\]
(3) 求 \(e_{ss}(\infty)\)。
因 \(v=1,K_v=\dfrac{\omega_n}{2\zeta}=10\),故速度稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=\frac{1}{K_v}=0.1\]
5-71 已知系统结构图和开环对数频率特性曲线如图 5-128 所示。要求:(1) 确定使闭环系统具有欠阻尼状态的开环增益 \(K\) 的范围;(2) 当阻尼比 \(\zeta=0.707\) 时,求系统的开环增益 \(K\) 及系统的动态性能 \(\sigma\%\) 和 \(t_s(\Delta=5\%)\);(3) 当开环增益 \(K=6\) 时,求系统的速度误差 \(e_{ss}(\infty)\)。
图 5-128 系统结构图与开环对数频率特性图
解 (1) 求闭环系统欠阻尼状态时的 \(K\) 值范围。
由图 5-128 得系统开环传递函数为