表 7-1 不同 \(T\) 值下的动态性能
| \(T\) | \(\sigma/\%\) | \(t_p/\mathrm{s}\) | \(t_s/\mathrm{s}(\Delta=2\%)\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 40 | 3 | 12 |
| 2 | 72 | 4 | 40 |
| 4 | 系统不稳定 | 系统不稳定 | 系统不稳定 |
图 7-24 采样系统结构图
7-22 已知系统的结构图如图 7-24 所示,其中 \(G_0(s)=\dfrac{1}{s(s+1)}\),采样周期 \(T=1\)。试求 \(r(t)=1(t)\) 时系统无稳态误差及过渡过程在最少拍内结束的 \(D(z)\)。
解 由图可知 \(G(s)=G_0(s)=\dfrac{1}{s(s+1)}=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}\),故
\[G(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-1}}=\frac{0.632z}{(z-1)(z-0.368)}\]
为使在单位阶跃输入下无稳态误差,并能在有限拍内结束过渡过程,由下式可得
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{z\to1}\frac{1}{1+G(z)D(z)}=\lim_{z\to1}[1-\Phi(z)]=0\]
或
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{z\to1}\left[1-\frac{P(z)}{z^r}\right]=0\]
所以 \(P(z)=1\)。
从 \(D(z)\) 能实现来看,\(r\) 的最小数应该为 1。因为最少拍是指在阶跃信号作用下无稳态误差,因此其闭环传递函数应为
\[\Phi(z)=\frac{P(z)}{z^r}=\frac{1}{z}=z^{-1}\]
故,其瞬态过程只要一拍就可以结束。
数字控制器 \(D(z)\) 的脉冲传递函数求出为
\[D(z)=\frac{1}{G(z)}\cdot\frac{P(z)}{z^r-P(z)}=\frac{1}{G(z)}\cdot\frac{1}{z-1}\]
\[=\frac{1}{\dfrac{0.632z}{(z-1)(z-0.368)}}\cdot\frac{1}{z-1}\]
\[=\frac{z-0.368}{0.632z}=1.58-0.58z^{-1}\]
数字控制器的结构图如图 7-25 所示。
图 7-25 数字控制器
7-23 闭环采样系统如图 7-26 所示,采样周期 \(T=1\)。试确定校正装置 \(D(z)\),使系统在单位斜坡输入信号 \(r(t)\) 作用下调节时间最短,并且在采样时刻没有稳态误差。
解 待校正的开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s^3}\right]=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^3}\right]\]
\[=\frac{z-1}{z}\cdot\frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}=\frac{z+1}{2(z-1)^2}\]