由于
\[\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{s+a_0}{s(s+a)^2}\right]=\frac{a_0}{a^2}+\left(\frac{a-a_0}{a}t-\frac{a_0}{a^2}\right)\mathrm{e}^{-at}\]
因此系统的单位阶跃响应为
\[c(t)=\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{2(s+0.5)}{s(s+1)^2}\right]=1+(t-1)\mathrm{e}^{-t}\]
则可绘出系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应曲线,如图3-48所示。
图3-48 系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应概略曲线
仿真结果如图3-49所示。
MATLAB程序:exe348.m
numg=[2 1]; deng=[1 0 0]; numh=[1]; denh=[1];
[num,den]=feedback(numg, deng, numh, denh);
figure, subplot(121); impulse(num,den,10); grid on
subplot(122); step(num,den,10); grid on
图3-49 系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应曲线(MATLAB)
3-49 已知各系统脉冲响应如下,试求传递函数:
(1) \(c(t)=\dfrac{K}{\omega}\sin\omega t\);(2) \(c(t)=0.02(\mathrm{e}^{-0.5t}-\mathrm{e}^{0.2t})\);(3) \(c(t)=0.01t\)。
解 由于输入是单位脉冲信号,即\(R(s)=1\),因此系统的脉冲响应的拉普拉斯变换对应着系统的闭环传递函数。