2011年北方工业大学自动控制原理851真题
一、(20分)
已知系统闭环传递函数\(\Phi(s) = \dfrac{0.9}{s^2+2\zeta s+1}\)，当输入\(r(t)=5\sin t\)时，系统输出稳态分量的幅值为10
(1) 确定系统传递函数的\(\zeta\)
(2) 当\(r(t) = R_m \sin \omega t\)时，求系统稳态输出\(y(t)=?\)
[红笔手写批注/推导，见annotations]
\[|\Phi(s)||r(t)|=10\]
\[|G(\omega)||\Phi(s)| = \frac{0.9}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+4\zeta^2\omega^2}} \cdot \zeta = 10\]
\[\Rightarrow \zeta = 0-22\zeta \text{ (?字迹潦草，见uncertain)}\]
\[y(t) = R_m \cdot \frac{0.9}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+4\zeta^2\omega^2}} \sin\left(\omega t - \arctan\frac{2\zeta\omega}{1-\omega^2}\right)\]
二、(20分)
设单位负反馈的开环传递函数\(G(s) = \dfrac{ke^{-0.8s}}{s}\)
(1) 绘制该系统开环幅相曲线
(2) 试用Nyquist判据分析说明满足什么条件时该闭环系统稳定
[红笔手写批注/推导，见annotations]
\[G(j\omega)=\frac{ke^{-0.8j\omega}}{j\omega}\]
\[|G(j\omega)|=\frac{k}{\omega} \qquad \angle G(j\omega) = -0.8\omega - 90°\]
与实轴交点：\(\angle G(j\omega) = -0.8\omega - 90° = -180° \Rightarrow \omega = \frac{5}{8}\pi \text{ (?字迹潦草，见uncertain)}\)
\[|G(j\omega)| = |G(j\tfrac{5}{8}\pi)| = \frac{?K}{5\pi} \text{ (?字迹潦草，见uncertain)}\]
（旁附手绘Nyquist曲线草图，为红笔手绘辅助解题螺旋线，非印刷正式图，未裁切）
\[0<K<\frac{?}{8}\pi \text{ (?字迹潦草，见uncertain)}\]
三、(30分)
已知单位负反馈系统开环传递函数\(G(s)\)所对应的伯德图如图1所示，\(G(s)\)无右半平面零极点。
(1) 写出\(G(s)\)表达式，概略绘制其相频关系曲线(不要求描点)
(2) 计算开环截止频率和相角裕度，判断系统稳定性
[红笔手写批注/推导，见annotations]
\[\gamma = 180° + \varphi(\omega_c)\]
（本页内容至此，第三题解答未完，可能延续至下一页）
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