的极点 \(s=\pm j\omega\)，因此 \(\lim_{t\to\infty} f(t)\) 不存在，所以终值定理不适用于这类函数。
3) 初值定理
初值定理是终值定理的对偶定理。如果函数 \(f(t)\) 和 \(\mathrm{d}f(t)/\mathrm{d}t\) 均可拉普拉斯变换，并且 \(\lim_{s\to\infty} sF(s)\) 存在，则有
\[f(0_+) = \lim_{s\to\infty} sF(s)\]
为了证明该定理，利用 \(\mathrm{d}f(t)/\mathrm{d}t\) 的 \(\mathscr{L}_+\) 变换
\[\mathscr{L}_+\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right] = sF(s) - f(0_+)\]
由于
\[\lim_{s\to\infty} \mathrm{e}^{-st} \to 0, \qquad \forall t \in [0_+, \infty)\]
因此
\[\lim_{s\to\infty} \int_{0_+}^{\infty} \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right] \mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = \lim_{s\to\infty}[sF(s) - f(0_+)] = 0\]
证得
\[f(0_+) = \lim_{s\to\infty} sF(s)\]
应当指出，在应用初值定理时，对 \(sF(s)\) 的极点位置没有限制，因此对于正弦函数，初值定理是成立的。
4) 积分定理
如果函数 \(f(t)\) 是指数级的，且 \(f(0_-)=f(0_+)=f(0)\)，\(F(s)=\mathscr{L}[f(t)]\)，则
\[\mathscr{L}\left[\int f(t)\,\mathrm{d}t\right] = \int_0^\infty \left[\int f(t)\,\mathrm{d}t\right] \mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = \left[\int f(t)\,\mathrm{d}t\right]\frac{\mathrm{e}^{-st}}{-s}\Big|_0^\infty - \int_0^\infty f(t)\,\frac{\mathrm{e}^{-st}}{-s}\,\mathrm{d}t\]
\[= \frac{1}{s}\int f(t)\,\mathrm{d}t\Big|_{t=0} + \frac{1}{s}\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = \frac{f^{-1}(0)}{s} + \frac{F(s)}{s}\]
如果 \(f(t)\) 在 \(t=0\) 处包含一个脉冲函数，则 \(f^{-1}(0_+) \neq f^{-1}(0_-)\)。此时，必须对积分定理作如下修改：
\[\mathscr{L}_+\left[\int f(t)\,\mathrm{d}t\right] = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{-1}(0_+)}{s}\]
\[\mathscr{L}_-\left[\int f(t)\,\mathrm{d}t\right] = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{-1}(0_-)}{s}\]
5) 复微分定理
若函数 \(f(t)\) 可拉普拉斯变换，则除了在 \(F(s)\) 的极点之外，有
\[\mathscr{L}[tf(t)] = \int_0^\infty tf(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = -\int_0^\infty f(t)\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\mathrm{e}^{-st})\,\mathrm{d}t\]
\[= -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F(s)\]
类似地，令 \(tf(t)=g(t)\)，有
\[\mathscr{L}[t^2f(t)] = \mathscr{L}[\tan(t)] = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}G(s) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left[-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F(s)\right] = (-1)^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}s^2}F(s)\]
重复上述过程，可得
\[\mathscr{L}[t^nf(t)] = (-1)^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}s^n}F(s), \qquad n=1,2,3,\cdots\]
6) 卷积定理
考虑下列卷积函数
·8·