图8-97 非线性系统结构图
解 由图知
\[\ddot{c}(t)+\dot{c}(t)=m(t)\]
而
\[m(t)=\begin{cases} e(t), & |e|\leqslant 2 \\ 2, & e>2 \\ -2, & e<-2 \end{cases}\]
且有
\[e(t)=r(t)-c(t)=1-c(t)\]
\[\dot{e}(t)=-\dot{c}(t)\]
\[\ddot{e}(t)=-\ddot{c}(t)\]
故系统分段线性微分方程为
\[\begin{cases} \ddot{e}(t)+\dot{e}(t)+e(t)=0, & |e|\leqslant 2 \\ \ddot{e}(t)+\dot{e}(t)+2=0, & e>2 \\ \ddot{e}(t)+\dot{e}(t)-2=0, & e<-2 \end{cases}\]
当\(|e|\leqslant 2\)时
\[\dot{e}\frac{\mathrm{d}\dot{e}}{\mathrm{d}e}+\dot{e}=-e\]
\[\frac{\mathrm{d}\dot{e}}{\mathrm{d}e}=\frac{-e-\dot{e}}{\dot{e}}\]
令\(\dfrac{\mathrm{d}\dot{e}}{\mathrm{d}e}=\dfrac{0}{0}\)，求得奇点为\(e=0,\dot{e}=0\)。在该区域内，特征方程为
\[s^2+s+1=0\]
特征根\(s_{1,2}=-\dfrac{1}{2}\pm \mathrm{j}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，故该奇点为稳定焦点。
令\(\dfrac{\mathrm{d}\dot{e}}{\mathrm{d}e}=\alpha\)，得等倾线方程为
\[\dot{e}=-\frac{e}{1+\alpha}\]
可知，等倾线为一簇过原点的直线。
当\(e>2\)时
\[\frac{\mathrm{d}\dot{e}}{\mathrm{d}e}=\frac{-\dot{e}-2}{\dot{e}}\]
显然无奇点。等倾线方程为
\[\dot{e}=-\frac{2}{1+\alpha}\]
等倾线为一簇平行于横轴的直线。在\(\alpha=0\)时，有\(\dot{e}=-2\)。
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