图4-158 \(D(s)=(s^2+2s+2)^2(s^2+2s+5)^2+K=0\)根轨迹图及与虚轴交点信息（MATLAB）
MATLAB程序：exe448.m
G=zpk([],[-1+i -1-i -1+i -1-i -1+2i -1-2i -1+2i -1-2i],1); figure, rlocus(G);
4-49 已知单位反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\dfrac{K(0.5s-1)^2}{(0.5s+1)(2s-1)}\)，要求：(1) \(K\)从\(0\rightarrow+\infty\)时，概略绘制系统的闭环根轨迹图；(2) 确定保证系统稳定的\(K\)值范围；(3) 求取系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达到的最小绝对值\(|e_{ss}(\infty)|_{\min}\)。
解 (1) 绘制系统的闭环根轨迹图。
由题可得系统开环传递函数为
\[G(s)=\dfrac{0.25K(s-2)^2}{(s+2)(s-0.5)}=\dfrac{K^*(s-2)^2}{(s+2)(s-0.5)}\]
① 实轴上的根轨迹：\([-2,0.5]\)。
② 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\dfrac{1}{d+2}+\dfrac{1}{d-0.5}=\dfrac{2}{d-2}\]
求得分离点的坐标为\(d=-0.182\)。
③ 根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程
\[D(s)=(s+2)(s-0.5)+K^*(s-2)^2=0\]
\[=(1+K^*)s^2+(1.5-4K^*)s+(4K^*-1)=0\]
令\(s=j\omega\)，将其代入上式可得
\[(1+K^*)(j\omega)^2+(1.5-4K^*)(j\omega)+(4K^*-1)=0\]
即
\[\begin{cases}-(1+K^*)\omega^2+(4K^*-1)=0\\(1.5-4K^*)\omega=0\end{cases}\]
可解得 \(\omega=\pm0.603\)， \(K^*=0.375\)
且有 \(\omega=0\)， \(K^*=0.25\)
根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-159所示。
(2) 确定系统稳定的\(K\)值范围。
由根轨迹与虚轴的交点可知：当\(0.25<K^*<0.375\)时系统稳定，又
\[K^*=0.25K\]
故当\(1<K<1.5\)时，系统稳定。
· 218 ·