考研851 自动控制原理
题海 · solution · p.498
\[ =\begin{bmatrix} \mathrm{e}^{-t}+2t\mathrm{e}^{-t} \\ 2\mathrm{e}^{-t} \\ \mathrm{e}^{-2t} \end{bmatrix}+\int_0^t \begin{bmatrix} \tau \mathrm{e}^{-\tau} \\ \mathrm{e}^{-\tau} \\ 4\mathrm{e}^{-2\tau} \end{bmatrix} \mathrm{d}\tau = \begin{bmatrix} 1+t\mathrm{e}^{-t} \\ 1+\mathrm{e}^{-t} \\ 2-\mathrm{e}^{-2t} \end{bmatrix} \]

利用下述 MATLAB 程序可得该系统的单位阶跃响应曲线如图 9-7 所示。

图:自控原理题海_p498_fig1

图 9-7 系统的单位阶跃响应曲线(MATLAB)

MATLAB 程序:exe917.m

A=[-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2];B=[0 1 4]';

n=length(A);C=eye(n);D=zeros(n,size(B,2));

syms s;A1=inv(s*eye(n)-A);phi=ilaplace(A1);

sys=ss(A,B,C,D);x0=[1 2 1]';

t=0:0.01:10;u=ones(1,length(t));lsim(sys,u,t,x0);grid

9-18 已知系统状态方程

(1) \(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix} -a & 0 \\ 0 & -b \end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix} \dfrac{1}{b-a} \\ \dfrac{1}{a-b} \end{bmatrix}u(t)\);

(2) \(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -ab & -(a+b) \end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t)\)。

设 \(a\neq b\),\(\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{0}\)。试求当输入信号 \(u(t)\) 分别为单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡信号时系统的状态轨线。

解 非齐次状态方程解的形式为

\[ \boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{At}\boldsymbol{x}(0)+\int_0^t \mathrm{e}^{A\tau}\boldsymbol{b}u(t-\tau)\mathrm{d}\tau \]

故仍需先求状态转移矩阵 \(\mathrm{e}^{At}\)。

(1) 系统(1)的状态轨线。由于

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