MATLAB 验证,系统单位阶跃响应如图 7-7 所示。
MATLAB 文本：exe712.m
T=1;t=0:1:10;
sys = tf([1.275, 0.225],[1, 0.275, 0.225],T);
step(sys,t);grid
图 7-7 采样系统单位阶跃响应(MATLAB)
7-13 已知采样系统的结构图如图 7-8 所示。试求系统的稳定临界放大系数 \(K_c\)。
解 (1) 图 7-8(a)系统。
系统的开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{K}{s(0.1s+1)}\right]=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-10T})}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-10T})}=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-1})}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}\]
闭环特征方程为
\[D(z)=(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})+Kz(1-\mathrm{e}^{-1})=z^2+(0.632K-1.368)z+0.368=0\]
用 \(w\) 域劳斯判据求解,令 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\),代入方程化简后得
\[0.632Kw^2+1.264w+(2.736-0.632K)=0\]
列出劳斯表如下:
| \(w^2\) | \(0.632K\) | \(2.736-0.632K\) |
| \(w^1\) | \(1.264\) | \(0\) |
| \(w^0\) | \(2.736-0.632K\) |
根据劳斯判据得系统稳定的条件为
\[0.632K>0,\quad -0.632K+2.736>0\]
则
\[0<K<4.329\]
临界放大系数为 \(K_c=4.329\)
图 7-8 闭环采样系统结构图
MATLAB 验证:取 \(K=4.329\),系统单位阶跃响应如图 7-9 所示,表明系统处于临界稳定状态。
MATLAB 文本：exe713a.m
T=0.1;t=0:0.1:1;
sys=tf([4.329(1-exp(-1)),0],[1,0.6324.329-1.368,0.368],T);
step(sys,t);grid;