9-16 已知系统状态方程
\[
\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0 & 0\\0 & \lambda & 0 & 0\\0 & 0 & \sigma & 1\\0 & 0 & 0 & \sigma\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)
\]
试求在初始条件 \(\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\) 时的系统响应。
解 由于系统矩阵为约当型，因此其状态转移矩阵为
\[
\boldsymbol{\Phi}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{\lambda t} & t\mathrm{e}^{\lambda t} & 0 & 0\\0 & \mathrm{e}^{\lambda t} & 0 & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{\sigma t} & t\mathrm{e}^{\sigma t}\\0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{\sigma t}\end{bmatrix}
\]
此时在初始条件 \(\boldsymbol{x}(0)\) 时的系统响应为
\[
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{\Phi}(t)\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{\lambda t} & t\mathrm{e}^{\lambda t} & 0 & 0\\0 & \mathrm{e}^{\lambda t} & 0 & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{\sigma t} & t\mathrm{e}^{\sigma t}\\0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{\sigma t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\mathrm{e}^{\lambda t}\\0\\\mathrm{e}^{\sigma t}(1+t)\\\mathrm{e}^{\sigma t}\end{bmatrix}
\]
最后通过下列 MATLAB 程序的运行结果验证可知，上述计算结果正确。
MATLAB 程序：exe916.m
syms k delta s
A=[k 1 0 0;0 k 0 0;0 0 delta 1;0 0 0 delta];x0=[2 0 1 1]';
A1=inv(s*eye(4)-A);phi=ilaplace(A1);x=phi*x0
9-17 已知系统状态方程
\[
\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}0\\1\\4\end{bmatrix}u(t),\qquad \boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}
\]
试求系统在单位阶跃输入作用下的时间响应。
解 由于系统矩阵是约当型，因此状态转移矩阵 \(\boldsymbol{\Phi}(t)\) 为
\[
\boldsymbol{\Phi}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-t} & t\mathrm{e}^{-t} & 0\\0 & \mathrm{e}^{-t} & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{-2t}\end{bmatrix}
\]
当输入为单位阶跃函数时，根据
\[
\boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0)+\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{b}u(t-\tau)\mathrm{d}\tau
\]
求得
\[
\boldsymbol{x}(t)=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-t} & t\mathrm{e}^{-t} & 0\\0 & \mathrm{e}^{-t} & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{-2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}+\int_{0}^{t}\left(\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-\tau} & \tau\mathrm{e}^{-\tau} & 0\\0 & \mathrm{e}^{-\tau} & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{-2\tau}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\4\end{bmatrix}\right)\mathrm{d}\tau
\]
·491·