解 由于系统稳定是求取稳态误差的前提,故应先分析系统稳定性。为此需求出系统的闭环特征方程。
(1) 求闭环特征方程
由图7-65,令
\[G_1(s)=\frac{K(1-\mathrm{e}^{-Ts})}{s(s+1)}\]
求出
\[G_1(z)=K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s(s+1)}\right]=K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\right]\]
\[=K(1-z^{-1})\left(\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-T}}\right)=\frac{K(1-\mathrm{e}^{-T})}{z-\mathrm{e}^{-T}}\]
因为
\[d^*(k)=d^*(k-1)+e^*(k)\]
取z变换得
\[(1-z^{-1})d(z)=e(z)\]
求出
\[D(z)=\frac{d(z)}{e(z)}=\frac{z}{z-1}\]
于是开环脉冲传递函数为
\[G(z)=D(z)G_1(z)=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-T})}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-T})}=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-T})}{z^2-(1+\mathrm{e}^{-T})z+\mathrm{e}^{-T}}\]
得闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-T})}{z^2+[K(1-\mathrm{e}^{-T})-(1+\mathrm{e}^{-T})]z+\mathrm{e}^{-T}}\]
从而闭环特征方程为
\[z^2+[K(1-\mathrm{e}^{-T})-(1+\mathrm{e}^{-T})]z+\mathrm{e}^{-T}=0\]
若令
\[a=K(1-\mathrm{e}^{-T})-(1+\mathrm{e}^{-T})\]
则有
\[z^2+az+\mathrm{e}^{-T}=0\]
(2) 求使系统稳定的K值
令\(z=\dfrac{w+1}{w-1}\),代入特征方程,整理后得
\[(1+a+\mathrm{e}^{-T})w^2+(2-2\mathrm{e}^{-T})w+(1-a+\mathrm{e}^{-T})=0\]
显然,使系统稳定的充分必要条件为
\[1+a+\mathrm{e}^{-T}>0,\quad 2-2\mathrm{e}^{-T}>0,\quad 1-a+\mathrm{e}^{-T}>0\]
故应有
\[-1-\mathrm{e}^{-T}<a<1+\mathrm{e}^{-T}\]
代入a表达式,整理得
\[0<K<\frac{2(1+\mathrm{e}^{-T})}{1-\mathrm{e}^{-T}}\]
(3) 求满足误差界要求的K值
因静态速度误差系数
\[K_v=\lim_{z\to1}(z-1)G(z)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-T})}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-T})}=K\]
稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=\frac{T}{K_v}=\frac{T}{K}\leqslant\varepsilon\]
故求出
\[K\geqslant\frac{T}{\varepsilon}\]
因而,满足题意要求的增益范围为
\[\frac{T}{\varepsilon}\leqslant K<\frac{2(1+\mathrm{e}^{-T})}{1-\mathrm{e}^{-T}}\]
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