考研851 自动控制原理
题海 · 题解 · p.133

3-54 已知系统特征方程 \(a_0s^4+a_1s^3+a_2s^2+a_3s+a_4=0\),其中各项系数为正。试证明:

(1) 系统稳定的必要条件为 \(a_1a_2>a_0a_3\),\(a_2a_3>a_1a_4\);(2) 系统稳定的充分条件为 \(a_1a_2>2a_0a_3\),\(a_2a_3>2a_1a_4\)。

证明 由特征方程可知 \(n=4\),根据赫尔维茨判据可得系统稳定的充分必要条件为① 特征方程的各项系数为正;② \(\Delta_2>0\);③ \(\Delta_2>a_1^2a_4/a_3\)。

(1) 必要条件。

由于系统稳定,且各项系数为正,故必有

\[\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3>0 \Rightarrow a_1a_2>a_0a_3\]
\[\Delta_2>a_1^2a_4/a_3 \Rightarrow a_1a_2-a_0a_3>a_1^2a_4/a_3\]

即

\[a_1a_2a_3-a_0a_3a_3>a_1^2a_4\]

也即

\[a_2a_3-a_0a_3a_3/a_1>a_1a_4\]

则

\[a_2a_3>a_1a_4\]

故系统稳定的必要条件为:\(a_1a_2>a_0a_3\),\(a_2a_3>a_1a_4\)。

(2) 充分条件。

若 \(a_1a_2>2a_0a_3\),由于各项系数为正,则

\[a_1a_2>a_0a_3\]

由赫尔维茨判据可知,若要证明系统稳定,还须有

\[a_1a_2-a_0a_3>a_1^2a_4/a_3\]

即要证明

\[-a_0a_3^2+a_1a_2a_3-a_1^2a_4>0\]

由于 \(a_1a_2>2a_0a_3\),\(a_2a_3>2a_1a_4\),则

\[a_1a_2^2a_3>4a_0a_1a_3a_4,\quad \frac{a_1a_2}{2a_0}>a_3,\quad a_3>\frac{2a_1a_4}{a_2}\]

即

\[a_2^2>4a_0a_4,\quad \frac{2a_1a_4}{a_2}<a_3<\frac{a_1a_2}{2a_0}\]

取 \(x=a_3\),令 \(f(x)=-a_0x^2+a_1a_2x-a_1^2a_4\),定义域为 \(\dfrac{2a_1a_4}{a_2}<a_3<\dfrac{a_1a_2}{2a_0}\),且有 \(a_2^2>4a_0a_4\)。对 \(f(x)\) 求导,可得

\[f'(x)=-2a_0x+a_1a_2\]

因 \(f'(x)\) 在上述定义域内始终有 \(f'(x)>0\),故 \(f(x)\) 是单调递增的,则

\[\min f(x)=f\left(\frac{2a_1a_4}{a_2}\right)=-a_0\frac{4a_1^2a_4^2}{a_2^2}+a_1^2a_4=\frac{a_1^2a_4}{a_2^2}(a_2^2-4a_0a_4)>0\]

即

\[f(a_3)=-a_0a_3^2+a_1a_2a_3-a_1^2a_4>0\]

故系统稳定的充分条件为

\[a_1a_2>2a_0a_3,\quad a_2a_3>2a_1a_4\]

3-55 设复合控制系统如图 3-58 所示。要求:(1) 计算扰动 \(n(t)=t\) 引起的稳态误差;(2) 设计 \(K_c\),使系统在 \(r(t)=t\) 作用下无稳态误差。

解 (1) 扰动引起的稳态误差。

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