啊，各位同学，大家好，欢迎来到考试点，我们将接着上一讲呢，来复习自动控制原理的第八章非线性系统的分析，在上一讲当中，我们已经系统的了解了第八章的知识架构。架构并且针对于第八章的重要知识点，实际上就是两种非线性系统的分析方法，描述函数法和橡皮面法呢，详细的分析了详细的啊，了解了这两种方法该如何使用。那么这一讲当中呢？我们将结合具体的例题来对这两种方法加以巩固，那么在我们的考研过程当中呢？针对这两种方法，他们各自的使用啊，分别有这样。的一些场合，第一种如果利用描述函数法的话，我们在前面已经说了，针对的非线性系统呢，它可以是低阶的，也可以是高阶的，但是这种非线性系统一定是能够做结构的。典型化处理，并且满足了一定的啊，近似条件的在这种情况下，我们可以用描述函数法分析非线性系统的稳定性。以及产生自激震荡，这个自激震荡，它的振幅和频率这样的问题啊，这样的问题。

再有，我们还涉及到的一些考点，包括。非线性系统，它的结构化简，比如说在一个非线性系统当中，它有可能存在的不止一个非线性的环节。如果有两个或者更多的非线性环节，那么怎么样把这若干个非线性环节呢？来做结构化解，这在很多考试的类型，考试的题型当中呢？也会见到，除了描述函数法之外，还有啊，向平面法，向平面法，在考试当中呢，经常也会出现那么一旦考到向平面法，我们往往是要求大家绘制。出来非线性系统，它的向轨迹并且确定出来向轨迹，或者说非线性系统，它的起点以及起点的类型。从而借助于向轨迹分析，非线性系统，它的运动特性啊，运动特性，这是我们在第八章啊，考研当中经常会见到的考察方式啊，考察方式。那么也就是说，第八章说白了就是两种非线性的分析方法描述函数法和橡皮面法，而且从考试的趋势来看，描述函数法越来越占有了主导地位。啊，越来越占有的主导地位，而实际上，不管是哪两哪种方法，它的考试题型变化呢，是非常小的，那是非常小的，我们来看啊，结合具体的例题，我们来讨论一下这两种方法。

第一个例题，我们来看一下，那来看一下，给大家了一个非线性的系统，哎，这个非线性系统，我们观察一下。这是一个非线性的环节啊，非线性的环节，而这呢是一个线性的环节，从结构上来看，它和描述函数法对应的结构很相似。很相似，让我们用描述函数法来证明这个系统，它产生自激振荡的振幅。是1.273所对应的频率是4.39，那么给你的非线性是典型的理想祭奠非线性，那么这个理想祭奠非线性它对应的。副导描述函数呢，也告诉你了。在我们描述函数法的考试当中呢，有些学院啊，有些学校它不会给你一些典型信号或者典型非线性环节，它的复导描述函数。这个时候就需要你去记住一些常见的，简单的非线性，它所对应的辅导描述函数啊，像机电呀啊，四驱呀，饱和呀，这样的一些非线性，我建议。建议考生们呢，去刻意的记一下，那刻意的记一下，那么这个系统用描述函数法来分析它所产生的自己诊断参数的时候呢。我们做往往分为这样的两步，第一步，第一步，只要用描述函数法，第一步，我们就把它。所对应的复导描述函数曲线绘制出来第二步。把线性部分所对应的南奎斯特曲线绘制出来。从这两个曲线，它们之间是否相交，我们可以判断这个系统它在什么范围内，稳定什么范围内不稳定。什么时候会产生自激诊断产生的自激诊断是稳定的呢还是不稳定的好？

对于这个题一样的。那么，这样的一个非线性环节所对应的副导描述函数已经告诉我们了，它所对应的副导描述函数曲线又是什么样的呢？我们来看。它的负导描述函数是一个关于整除x的函数，当这个正负从零到无穷连续变化的时候。x=0的时候，它是0x趋近于无穷的时候呢，它是负无穷，也就是说这个负导描述函数曲线。它是一个从零朝着负无穷的方向箭头的方向呢，表示x增大的方向增幅整幅呢，增大的方向那么所对应的负导描述函数曲线。就是负十轴就是负十轴，我们画出来了，再来看线性部分。线性部分，这是一个菱形系统，所以我们在前面呢，复习啊频率分析法的时候，我们说过了，需要大家啊，非常熟练的掌握。奈克斯特曲线的绘制。莱欧斯特曲线的绘制，除了在线性系统的分析当中有着非常重要的地位之外，在我们非线性系统的分析当中还会大量的见到啊，还会大量的见到。这呢是一个菱形系统，菱形系统呢，它是起于我们的啊，实轴上面k。g0这一点啊，kg 0这一点，然后呢，由于n-m，它是等于三的三阶系统。所以呢，它的终点终点会以负的3/2派这样的一个啊趋势终于坐标原点。也就是说，线性部分的南布斯的曲线，要么是这样中于坐标原点，要么是这样。究竟是哪样？那么我们还需要讨论这个按两种趋势中于坐标原点想要。

精确的画出线性，部分的奈维斯的曲线，我们还需要了解它在中型段的变化，中型段的变化呢？首先，我们来观察一下。这个曲这个线性部分，它的传递函数当中呢？没有零点，所以这个曲线线性部分的南桂斯的曲线要么全凸，要么全凹，是不会出现凸凹的变化的。此外，还有可能会与实轴和虚轴相交，要想讨论它和实轴，虚轴相交的情况，我们就必须了解线性部分。它频率特性所对应的实频和虚频，借欧米伽加一。13减去欧米伽的平方，加上一个借六欧米伽，我们对它呢来做分母有理化的处理，它等于12倍的一减去借欧米伽。然后呢，13 -omega^2，减去g6 omega比上一个那么底下分母有理，化完了就是omega^2+1。对应的是它，然后呢，13减去欧米伽的平方，再加上一个36欧米伽的平方。我们来看分子当中，分子当中所对应的十部的部分有哪些？哎，我们发现你看一乘以它十步，它乘以它又是十步，所以十步的部分呢，包括十。12×1个13减去欧米伽的平方，再有三个负号仍然是那。你看两个界相乘啊，三个负号对应的是减去一个六欧米伽的平方乘以12，这是十步的部分。然后虚部的部分有哪些呢？它和它相乘有虚部，那么这个部分哎，它和它相乘也有虚部，虚部呢都是负的啊，负的是。十二届，然后有一项呢，是欧米伽13-1个欧米伽的平方。还有一项呢，是一个它乘以它的话，应该是六欧米伽啊，六欧米伽。实部和虚部我们都算出来了。如果和实轴相交，虚部是要等于零的，虚部是要等于零的，如果和虚轴相交，实部呢？它要等于零。

我们进一步来看一下它的实部和虚部，这里呢是72欧米伽的平方，再来减去一个啊，那么就应该是12×13。减去一个72+12，84欧米伽的平方，然后虚部呢，减去12倍的借欧米伽13，减去欧米伽的平方减六。对应的也就应该是加上一个欧米伽的平方减七，那加上一个欧米伽的平方减七，那么实部和虚部我们都知道了。来十步，会不会等于零呢？我们发现是会等于零的，是会等于零的。等于零。在哪里等于零？其实我们并不关心我们，只要知道它会和虚轴相交，相交就可以了，而且啊。而且啊，如果相交了，它只能是啊，只能是从下面相交，那下面相交再来看一下它的实虚部。虚部呢？我们发现在欧米伽等于根号七根号七，实际上就是2.362点三六，为什么我们更关注于虚部呢？因为负导描述函数，它的曲线就是我们的负实轴，所以如果和负实轴相交。那么这个时候它就有可能就一定会和副导描述函数曲线相交，就一定会产生自己震荡，从而可以确定自己震荡的幅值。和频率好了，在频率等于根号七这个地方它会相交，此时的焦点在哪里呢？哎，我们不妨带进去看一下，那带进去看一下。当频率等于根号七的时候，这个时候它的时频线性部分的时频等于12×13。减去84×7比上一个八，再乘以13-76^236，再加上一个36×7。这样它的十步，我们就能够算出来了啊，就能够算出来了，那么虚12这样算呢啊，其实。

没有必要啊，没有必要，当然这样算出来，以后实际上它们交点交点的坐标我就知道了，也就是说负的nx。现在就等于频率等于根号七，也就是2.36啊，2.36。还一点。4.36啊，4.36。哎，这里再看一下啊，那么。频率啊，对应的等于2.36，这个时候呢，它所对应的负值从这个关系式里面我可以推出来，正负x的值。好正负x的值那么在这里看哪个地方呢？算的时候有点问题，但是思路呢，是没有问题的，那思路是没有问题的，首先画出来负导描述函数，它所对应的曲线。然后呢，把线性部分所对应的南布斯的曲线呢，也画出来，那也画出来，那么我们再来看一下啊，线性部分。啊，这里是加啊，这里是加，所以呢，欧米伽的平方减去一个19啊，减去一个19欧米伽呢，等于根号19=1个。4.36啊，等于4.36欧米伽等于这么多，然后把这个欧米伽的平方等于19带进去啊，带进去我们可以算出来啊，这地方不是七了十。19啊，这也是19啊，19那么这个地方代进去以后，我们可以计算出来它所对应的x。欧米伽呢？等于。乘以19那乘以19，然后这个地方呢？36，36啊，乘以一个八，再乘以一个20啊，回去计算呢，大家再详细的计算一下啊，计算一下我们就可以证明出来。它所对应的啊，所对应的，尤其m也知道了，等于十所对应的振幅和频率了啊，振幅和频率。

那么拿到这道题的时候呢？这种描述函数法这样的题型的时候呢？要判断是否自证，我们需要明确的是，副导描述函数曲线和线性部分的莱乌斯的曲线。它们相对的位置关系是不是存在焦点？如果相交，它穿越的趋势是什么样的？从而确定。这个诊断是稳定的还是不稳定的？那么解决这个问题的关键就在于副导描述，函数曲线和线性部分。纳乌斯的曲线，它的绘制上面那绘制上面。

嗯，下面呢，我们来看这样的一个题，刚才呢，我们已经通过一个例题学习了啊，怎么会利用描述函数法来分析一个非线性控制系统？下面呢，我们要讲的这个例题将会是啊，橡皮面法，它的一个应用啊，橡皮面法，它的一个应用。那么现在给我们了，那给我们了一些非线性系统，它所对应的微分方程。这个微分方程呢？是这样的啊，有两个注意啊导数。所在的位置。呃，拿到这种题的时候，我们要做的时候有两点要关注第一。给我们的是非线性的微分方程，对于这样的非线性微分方程，我们该如何来确定它的起点？起点求出来以后，这个起点啊，这个起点究竟是哪种类型的起点？在这个起点附近，它的向轨迹究竟应该是什么样的？是需要大家呢，熟练的掌握在这里边相对较为少见的起点是安点是安点安点处的向轨迹，该如何绘制？第二个，我们需要注意按照给定的规律，如果分了区间，那么分区的时候向轨迹又该如何确定啊？又该如何确定？那么，我们分别来看一下这两个题，首先我们看一下第一个。

第一个题呢，所对应的非线性的微分方程呢，是这样的。哎，非线性的微分方程是这样的，如果我们要想对它做线性化的近似，我们必须要寻找到它的起点。那么，如果这个点是这个非线性系统的起点，它满足二阶导等于一阶导，应该等于零啊，应该等于零。那么，在原来的非线性微分方程当中，如果二阶导，一阶导都等于零了，剩下的部分就是x。加上x^2=0，从而呢，满足它的条件的啊，满足这个条件的解有两个x=0或者x呢，等于。于一个负一那x=0 x=- 1，那么这两个点就是我们这个非线性系统，它的起点啊，非线性系统的起点。

在这两个起点附近，我们对于非线性系统呢，来做线性化线性化。第一，在起点x=0。它的附近啊，它的附近我们有当起点是在坐标原点附近的时候，它的两阶导。两阶导就应该等于哎，原先关于x和x1阶导的函数，关于x的偏导注意x。x呢，要等于0x的e接导，此时呢，也是等于零的乘以x，再加上。对于x的e阶导来求导，那么同样的x=0 x的e阶导等于0×x的e阶导，这就是它的线性化方程。实际上，我们就是对它呢，做了一个二元函数的展开，我们认为啊，现在x的二阶导是一个关于e阶导和x它的函数。那么两个变量，一个x一个x的一阶导对它们呢？分别求导带入啊，我们的平衡工作点带入我们的平衡工作点，我们有啊，我们有。这个时候来fx从这里边哎，我们可以得到x的二阶导不就等于负的3倍的x的e阶导减去0.5倍的x的e阶导。减x-x平方吗？对x来求导的话，对x来求导的话，就应该是-1-2x，然后注意现在x呢是等于零的f。x，再对一阶导来求导，一阶导的话，那一阶导的话，这里呢？有一个平方，平方完了就应该是负的6倍的x的一阶导。再来加上一个0.5，那加上一个0.5，此时x1接档呢，也等于零。这个方程当我们把x和x1接导的值代进去以后，就会有负的x，然后呢，它等于零，加上0.5倍的x的。一阶导那0.5倍的x1阶导，那么现在在起点x=0附近，我们的非线性微分方程。

变成了这样的一个东西来，我们观察一下这个微分方程，当然现在这个微分方程就是一个线性的。微分方程了，既然是线性的微分方程，那么在这个起点附近，它所对应的向轨迹也好，运动的形式。也好，我们都知道了，我们来看这个线性微分方程，它的特征方程呢，是这么多啊，特征方程是这么多。从这个特征方程里边，我们发现存在了两个特征，根这两个特征根呢，分别是0.5加减根号下零点5^2-4。四再来除以二也就等于一个0.25加减一个界0.984那984。这是一对食不为证的共阿府树根食不为证，它是不稳定的。由于是腐树根，它就是。啊，焦点，因此这个时候这个平衡工作点，或者说起点x=0，它是谁呢？它是不稳定的。焦点啊，不稳定的焦点，那么在我们的向平面当中。在我们的橡平面当中。x=0 x的一阶导也要等于零。第一个平衡工作点，也就是起点呢，就在坐标原点。这个点同时又是一个不稳定的焦点，不稳定的焦点，所以在这个点附近。所有的像轨迹呢，都是卷离这个工作点的啊，都是卷离这个工作点的注意啊，我画像轨迹的时候箭头的方向那箭头的方向。

那么，这个平衡工作点附近的向轨迹，我们就画出来了，再来看那么这个题呢？它存在了两个起点，除了一零之外呢？还有一个在负一这个地方。在x=- 1这个起点处，这个起点处采用相同的方法，相同的方法x的二阶导它应该呢？对，就是在这个地方，那就是在这个地方，我们需要带的值呢，不再是x=0了，而是x呢，等于负一x=- 1。我们在这个点附近x的二阶导等于-1-2x，然后x呢等于负一一阶导呢，等于0x。再来加上负的6x的一阶导，加上0.5，然后所对应的x=- 11阶导呢，等于0x的一阶导。这个时候所对应的微分方程等于x+1个0.5倍的x的接导。因此，非线性的微分方程又一次线性化了，变成了这样的一个东西，这是一个二阶的常系数的线性微分方程。它所对应的两个特征，根拉姆达，一拉姆达二呢，等于0.5加减啊，0.5的平方，再来加4+4。除以一个二等于这肯定是两个正实根了啊，两个正啊，两个实根，一个正一个负等于1.218和负的0.718。哎，算出来特征根是两个实根一正一负，此时这个起点我们把它呢叫做。安点叫做安点，那么在安点附近所对应的向轨迹又是什么呢？来负一零这个点，现在是安点。安点附近的向轨迹，我们是这样绘制的。它呢？存在两条分界线那。好，现在呢？我们就绘制出来了啊，在两个起点附近，它所对应的向轨迹，那它所对应的向轨迹。

这是第一个题，再来看第二个，第二个，第二个题呢，很明显，这个微分方程也是非其次的啊，也是非其次的。对于这样的一个非棋子的微分方程，想要绘制它的向轨迹，进而呢，分析它的运动状态。我们要做的事情也是首先找它所对应的起点，而想要找这个起点，我们需要这样来处理第二个。微分方程是二阶导，再加上一阶导的平方加x=0，那么想要找起点x的二阶导呢？等于fi关于一阶导和x的含义。函数等于负的x-x一阶导的平方，它应该呢要等于零。同时，一阶导也得等于零，而这个二阶导二阶导哎，想要让它等于零，一阶导等于零。那么这个时候x呢，就等于零意思啊，现在在我们橡皮面的坐标原点对应的00这个点。就是我们这个二阶系统的起点，二阶系统的起点，那么这个起点是什么起点呢？我们需要进一步对于非线性微分方程来做线性化了。那来做线性化了，对于x的一阶导来求导x的一阶导一阶导等于零x=0，加上f呢对x来求导。此时乘以x啊，一阶导等于零x=0，这样的话，我们带进去整理，以后我们有x的二阶导减去x。加上x=0，是我们所对应的线性化的方程。你看啊，它对x求导是。啊，对，x1阶导求导是负的负的2倍的x的啊，一阶导x的一阶导，然后呢，由于它是等于零的，所以这一项不存在了。对它求导是负一，因此呢，所对应的线性化微分方程是它对应的特征跟。是一对共阿的纯须根，是一对共阿的纯须根，如果起点处对应的线性化微分方程的。特征根是一对共额的纯虚根，那么这个起点我们把它叫做中心点。在这个中心点附近所对应的向轨迹呢，将会做一个啊，简谐运动。是一个闭合曲线。哎，是一个闭合曲线，那么实际上在我们的食欲当中，哎xt呢，它将会做一种等幅震荡，那做一种等幅震荡，这是我们。

举的一个关于向平面分析法的问题，那么在我们的考研过程当中呢？提到了向平面法。啊考察向平面法的话，通常就是给你这样的非线性的微分方程，然后呢，让你进一步对它做线性化的处理，然后讨论系统的特性。那讨论系统的特性，下面呢，我们再来看一个例子，那再来看一个例子，那么这个例子是这样的。给了你一个非线性的系统，它的结构图已经知道了，并且我们知道这个系统呢，一开始是静止的，是静止的。输入的呢？是一个接阅信号，让我们写出开关线方程，注意在这里，现在呢啊！向平面分析法当中，我们需要分区间。分区间来讨论它的一个啊呃，向轨迹了啊分区间来讨论它的向轨迹。并且呢，确定它所对应的起点的类型和位置啊，分析它所对应的运动状态，运动状态。

从它的结构图当中，我们来看一下。在这个结构图当中，我们有如果引入一个中间变量是非线性环节的输出的话。那么，对于它的线性部分而言，输入输出之间满足这样的关系。CS比上一个MS啊，比上一个MS这个传递函数呢，是等于s平方的。s平方的，也就是说输出的二阶导交叉相乘以后，s平方CS输出的二阶导，它就应该等于。非线性环节的输出啊，非线性环节的输出。由非线性环节由非线性环节，我们有这个时候输出呢，它等于来我们来看一下非线性环节。这个非线性环节，从它的非线性特性里边，我们发现如果误差信号。误差信号，它是小于等于二的，也就是说，位于非线性的这样的一个区间内的时候。不管输入是什么，这个时候非线性环节的输出，它都是等于零的，我们把这个区间叫做第一个区间。而如果现在如果现在啊所对应的非线性环节的输出，它是大于二的，是大于二的。那么这个时候，非线性的输入输出之间满足这样的一个关系，什么关系呢？是一个直线输出mt就应该等于输入。ET再来减。二是这样的一条直线。而如果e小于负二这个区间呢？叫做第二个区间。如果e小于负二，那么对应的输入输出之间在这个曲线部分，它对应的呢是一条直线ET呢？加上2 ET，加上二，也就是说在三个不同的区域内，有两条开关线。哪两条呢啊？-2和2这样的两条开关线。我们把整个的非线性区分为了三个区域啊，区分为了三个区域所对应的开关线，附近输入输出的。开关线方程，我们就有了啊，就有了，然后我们再来观察一下比较点。

在比较点这个地方，在比较你看在非线性的部分，它的输入信号是一体，那么我们要讨论有开关线的非线性的时候，一定找的是非线性的输入输出时间。的关系，而如果我们现在想讨论整个系统的输出，我们需要找非线性的输入输出和系统输出有什么关系？这是一个单位负反馈的系统，单位负反馈的系统，我们很容易能够发现在比较点这个地方。ET它等于谁呢？这个非线性环节的输入，它就等于rt-1个系统的输出CT。系统的输出CT，那么也就是说系统的输出CT呢？它和非线性环节的输入之间满足这样的一个关系，注意。给你了，现在的参考输入就是一个节约啊，就是一个节约在这种情况下，我们来看，假如说这是方程一，这是方程二，这是方程三。我们把3和2代入一代入一，我们来观察一下，来观察一下。代进去以后，输出的二阶导输出的二阶导现在呢，就变了，变成谁了呢，变成MT的二阶导。而这个MT的二阶导，它等于多少呢？那它等于多少呢？哎，我们有。它的二阶导等于一个你看输出的二阶导就等于啊，输出的二阶导等于负的啊，误差的二阶导而。输出的二阶导呢，又等于MT所以误差的二阶导，它就应该在误差小于等于二的区域内输出的二阶导，是等于零的，所以误差的二阶导。也是等于零的，而在e大于二的区域内，e大于二的区域内，误差的二阶导是等于负的MT。误差的二阶导是等于负的。MT那么这样的话呢，我们就有二减去。ET 2 -et，而当e小于负二的时候啊，负的MT=- 2 -et。减去ET好了，现在在开关线ET呢，等于正负二的附近，我们把非线性。团结它的啊，输入信号所对应的非线性方程呢，分为了三个区域，非分为了三个区域。

下边我们就来讨论一下这三个区域内它分别对应的运动啊，分别对应的运动在第一个区域内。输出的二阶导。也就是我们的误差信号，输出的二阶导和误差的二阶导呢，它们之间是呈现相反的关系的，输出的二阶导等于负的误差的二阶导，如果误差的关系知道了。输出响应，我们当然也就知道了，那也就知道了。它的二阶导等于零，也就是说它的一阶导呢，应该是一个常数。应该是一个常数，而在第二个区域内，第二个区域内误差的二阶导等于这么多，对应的方程就应该呢是它了。啊，是它等于零，那么对于这样的一个方程而言，如果它的二阶导等于一阶导，等于零了。我们可以得到此时所对应的起点，所对应的起点，它就应该呢等于二。所对应的特征，方程特征，方程在对它啊，做了线性化的近似怎么近似刚才那道例题当中，我们已经讲过了。它的线性化方程所对应的特征方程呢，是等于这么多所对应的特征根呢，有两个正负界。正负界意味着现在这样的一个平衡工作点，它是中心点，它是中心点。但是要注意这个中心点，它对应的向轨迹只能是出现在第二个区域内。第二个区域内e是大于零，e是大大于二，这样的一个区域内，而在第三个区域内，第三个区域内。它的二阶导加上ET，再加上2=0啊，等于零，当我们求出来它的起点以后，我们发现这个起点呢在。负二这个地方在负二这个地方，那么这个时候负二它所对应的线性化的方程呢，仍然是兰姆达的平方，加1=0。两个特征根仍然是等于正负界，意味着负二零它也是一个中心点啊，它呢，也是一个中心点。

好了，在我们分了区域以后所对应的每个区域内，输入输出的关系，我们已经知道了，那么这个时候我们可以画出来整个系统的像平面图了。三个区域，这三个区域呢，有两条开关线，划分开了一条开关线呢，是等于负二，还有一条开关线呢，在二，这个地方，在二，这个地方。在-2到+2这个区间内，这个时候e阶导是一个常数，意味着所对应的向轨迹是平行于。我们的横轴的，而在大于二和小于负二这样的两个区域啊，这样的两个区域2和3。这样的两个区域内所对应的向轨迹呢，它的起点是中心点，是中心点，也就是说这两个起点附近，它的向轨迹。啊，呈现了这样的趋势啊，如果是中心点，那么它附近的向轨迹呢，肯定是做一个闭合曲线运动的，而在它们中间的区域内。向轨迹呢，是一个常数啊，是一个常数，所以呢，这个系统它的向轨迹，我们就能够绘制出来了，那绘制出来了。

好，现在呢？我们通过啊一道例题给大家讲解了一下，如果系统当中存在开关线，能够把整个非线性区域划分为不同的区间的话。怎么样？在不同的区间内来讨论这个系统，它的运动啊，它的运动呃运动轨迹画出来以后很明显，它形成了一个闭合曲线，所以呢，这个系统它会做简谐诊断。那周期性的间歇诊断。这是啊，这样的一个题，下面我们再来看一下，那这样的一个题，这个题呢，我们只简单的讲一下，那只简单的讲一下。那么这个题是这样的，从它的结构图当中，我们发现现在这个非线性系统呢，它是两个非线性相互串联。所形成的一个非线性系统，对于系统当中含有不止一个非线性环节的系统而言。如果想要分析它的特性，那么我们首先要对这相互串联的两个非线性来做一下等效。做一下等效，也就是说我们通过这两个串联的关系得到一个非线性。这一个非线性呢，就能够描述第一个非线性环节的输入和第二个非线性环节的输出。它们之间啊，二者的关系，二者的关系，那么比如说像这个题，这两个非线性在我们做了一个串联的处理以后。我们发现我们完全呢可以用一个非线性来表示它这个非线性是什么样的呢？哎，它也是一个。成积对称的这样的一个环节啊，这样的一个环节出现在了0.5和。m=2啊，0.5和2之间，那么这个时候我们就需要讨论，如果第一个非线性的环节，它的输出位于什么区间的时候？经过第二个非线性环节以后，它的输出又是什么样的？那么这个时候把这相互串联的两个非线性环节，用一个非线性来。来处理，处理完了以后呢，我们就可以采用和之前啊，典型结构一样的方法来进行计算了，那这也是一个关于。描述函数法，它的一个应用啊，它的一个应用，那么我们刚才呢？通过三道例题给大家讲了，怎么样利用描述函数法来分析一个非线性系统的稳定性？以及讨论这个非线性系统产生自激诊断，它所对应的一些诊断参数，我们说了，用这种方法的，关键是要正确的绘制。非线性环节的复导描述，函数曲线和线性环节的奈维斯特曲线啊，奈维斯特曲线。

此外，后面的两道例题呢，讲解了一下向平面法，它的应用。那么象平面在考察的时候，通常有两种啊，两种考察方式，一种给你一个简单的非线性的微分方程。让你找到它的起点，在起点附近对非线性的微分方程，做线性化的处理，利用线性微分方程判断起点的类型。绘制出来起点附近的向轨迹，还有一种方法呢，就是来啊，首先找到啊，这个非线性环节，它所对应的开关线在开关线划分的不同区域内绘制出来。啊，这个非线性系统，它的向轨迹，从而分析系统的性能，那么在这一讲呢啊，我们就把第八章的内容复习完了，好这一讲，我们就讲到这里了，谢谢大家，再见。