设 \(\mathbf{A}=[a_{ij}],\mathbf{B}=[b_{ij}]\),则
\[\mathbf{A}+\mathbf{B}=[a_{ij}+b_{ij}], \qquad \mathbf{A}-\mathbf{B}=[a_{ij}-b_{ij}]\]
2) 数与矩阵的乘法
对于矩阵 \(\mathbf{A}=[a_{ij}]\) 和数 \(k\),有
\[k\mathbf{A}=\begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1m} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{n1} & ka_{n2} & \cdots & ka_{nm} \end{bmatrix}\]
3) 矩阵与矩阵的乘法
设 \(\mathbf{A}\in R^{n\times m},\mathbf{B}\in R^{m\times p}\),则 A 可用 B 右乘,或者说,B 可用 A 左乘,其乘积
\[\mathbf{AB}=\mathbf{C}=[c_{ij}]=\Big[\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}\Big]\]
\[i=1,2,\cdots,n; \qquad j=1,2,\cdots,p\]
通常,矩阵的乘法是不可交换的,即除个别情况外,\(\mathbf{AB}\neq\mathbf{BA}\);特别是,即使 A 与 B 可以相乘,但 B 与 A 不一定可以相乘。
矩阵乘法适用结合律与分配律,即
\[(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC})\]
\[(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{AC}+\mathbf{BC}\]
\[\mathbf{C}(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\mathbf{CA}+\mathbf{CB}\]
4) 矩阵的幂
方阵 A 的 k 次方,由下式定义:
\[\mathbf{A}^{k}=\underbrace{\mathbf{AA}\cdots\mathbf{A}}_{k}\]
并称为矩阵 A 的 k 次幂。对于对角线矩阵
\[\mathbf{A}=\mathrm{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{m})\]
有
\[\mathbf{A}^{k}=\mathrm{diag}(a_{11}^{k},a_{22}^{k},\cdots,a_{m}^{k})\]
5) 矩阵的转置
矩阵和 \((\mathbf{A}+\mathbf{B})\) 与矩阵积 \((\mathbf{AB})\) 的转置矩阵,由下式给出:
\[(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}+\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\]
\[(\mathbf{AB})^{\mathrm{T}}=\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\]
同样地,对于 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\) 和 \(\mathbf{AB}\) 的共轭转置矩阵,有如下结果:
\[(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{*}=\mathbf{A}^{*}+\mathbf{B}^{*}\]
\[(\mathbf{AB})^{*}=\mathbf{B}^{*}\mathbf{A}^{*}\]
6) 矩阵的秩
如果矩阵 A 的 \(m\times m\) 子矩阵 M 存在,且 M 的行列式不为零,而 A 的每一个 \(r\times r\) 子矩阵\((r\geqslant m+1)\)的行列式均为零,则矩阵 A 具有秩 m,表示为
\[\mathrm{rank}\,\mathbf{A}=m\]
7) 矩阵的迹
方阵 A 主对角线上元素之和定义为方阵 A 的迹,记作
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