嗯，大家好，欢迎来到考试点嗯，今天呢，我们将会接着上一讲的内容来针对一些典型例题复习第四章的内容啊，复习第四章的内容。在上一讲当中，我们呢，针对于啊一些180度的根轨迹系统，讨论了根轨迹的绘制。并且引入了主导几点以及偶极子的概念来对系统进行分析，性能的分析。那么，这样的题型呢？在根轨迹的考察当中，是经常会见到的，见到的除了这样的题型之外，我们说了根轨迹的绘制。
越来越趋向于朝着0度更轨迹，米级参数更轨迹这个方向在发展。所以呢，这一这一讲，我们将针对0度跟轨迹以及参数跟轨迹的绘制以及系统的性能分析来进行讨论啊来进行讨论。下面我们来看一道例题，这道例题呢？是这样的。让我们绘制。
一个参数从负无穷到正无穷，变化时候系统的闭环根轨期。注意，在这里我们第一次见到了参数从负无穷到正无穷变化。在我们前面讨论根轨迹方程的时候，根轨迹的时候，我们曾经提到过根轨迹的概念是。是当某个参变量从零变化到无穷大的时候，所对应的啊根轨集。所对应的闭环特征根的变化，那么在这里现在参数呢？
不是从零变化到无穷了。而是从负无穷变化到零其中，从零到无穷的这个部分。对于这个系统而言，对于这个系统而言，仍然属于180度跟轨迹。但是从负无穷。变化到零，这个时候相当于系统当中这个比例环节呢，是一个非最小相位环节。
因此，此时的系统是一个非最小相位系统，非最小相位系统，它根轨迹的绘制呢？要用0度根轨迹的绘制规则来讨论。所以这道题呢，我们不光要绘制180度跟柜机，还要绘制0度跟柜机第二问。他让我们确定系统稳定时候的最小阻尼比最小阻尼比什么叫做最小阻尼比呢？实际上，哎，我们在前面的例题当中也提到过，比如说最佳阻尼比呀，比如说阻尼角啊，这样的概念。
那么，最小阻尼比意味着系统的阻尼比可c，他取得最小值，而此时可c等于谁呢？等于cos的贝塔。是和阻尼角有关的，当它取得最小值的时候，阻尼角贝塔要取得最大值。要求的最大值，所以呢，在这里我们怎么样来找这个最小阻尼比也是我们需要关注的问题。下边我们就来绘制这个这个系统，它的根轨迹，那它的根轨迹。
首先我们来看一下这个系统，它的吉林点分布。它存在呢一个。这个系统的开关传递函数，我们先写出来吧。k倍的s+3。比上一个x- 1乘以x+2，所以呢，它有两个开环极点。
一个在一这里。还有一个呢，在负二这里同时存在一个开环零点，在负三这里从它的起零点分布。我们马上头脑当中又会有一个意识，哎，抚平面当中的根轨迹有可能是一个圆，有可能是一个圆。是不是圆我们需要进一步来讨论，要进一步来讨论。首先，要想绘制从负无穷到正无穷的部分，我们可以分两部分来绘制。
如果现在根轨迹增益是从零变化到正无穷的时候。按照它的极零点分布，它在俯平面当中的根轨迹很有可能是一个圆。如果是一个圆，我们在上一讲当中说过了，我们可以用向角条件来证明它是不是一个圆，圆心在哪里，半径在哪里。好上缴条件是这样的。来它所对应的角度s，如果等于德尔塔加上切欧米伽的话。
他所对应的角度就应该是arc 10 dent的来，我们在下面写吧啊。arc 10 dent的。欧米伽比上一个德尔塔加三。再来减去分母的角度。再来减去arctan ENT的欧米伽比上德尔塔加二，因为呢，在k。
从零变化到无穷的时候，仍然是180度的根轨迹，所以他就可以等于180或者负的180。然后我们把这两项移过去，这一项保留两边取正切，以后我们有。左边德尔塔比上欧米伽比上德尔塔加三等于右边180度，加上它俩的和180度，加上这个角在第三象限曲完，它那个仍然是正的。我们应该比上德尔塔减一。加上欧米伽比上德尔塔加二比上一个一减去欧米伽的平方，德尔塔减一德尔塔加二。
从这里边我们进行整理以后呢，可以得到一个圆的方程，德尔塔加三的平方。再加欧米伽的平方等于四，这是一个什么样的圆呢？圆心在负三零这一点。半径为二，这样的一个圆好所对应的根轨集，我们可以画出来啊，根轨集可以画出来。圆心在负三半径为二。
哎，也就是说我们的两条根轨集一条从负二出发了，沿着它终于了有限零点。一条呢，从负一出发了，沿着圆终于了无限零点，那无限零点。现在呢，根轨集我们已经画出来了。第一问。当中的一半儿，我们已经解决了，还有一半，如果现在的根轨迹增益从。
从负无穷变化到零呢，那么这个时候要注意这个时候的系统。相当于多了一个非最小相位的比例环节，因此呢，系统的跟轨机属于0度跟轨机。属于0度跟轨迹。在0度根轨迹的绘制的时候，我们来看仍然是一样的，极零点分布，可是这个时候的根轨迹有没有发生变化呢？负一啊，这是一。
负二负三。实轴上的跟轨及区域对于0度跟轨及而言。其右侧所在的区域，他必须是一个偶数。以从一。到正无穷。
是我们根轨迹所在的区域，除此之外从。-2到-3也应该呢，是我们根轨迹所在的区域。哎根轨迹所在的区域，那么在这种情况下，在这种情况下，系统啊，系统。它的根轨集是由两部分所组成的啊，是由两部分所组成的。呃，第一问，我们已经讨论完了，那已经讨论完了，分情况来处理了，如果跟。
根轨迹争议，是从零到无穷。根轨迹是什么样的？如果从负无穷到零根轨迹，又应该是什么样的？那他们对应的根轨迹是不一样的。第二问。
让我们确定是系统稳定的时候，系统的最小阻尼比好，我们回过头来看。看一下刚才的两种情况。在第二种情况k呢，从负无穷变化到零这样的一个过程当中。由于有一有一条跟轨集，它始终位于s的右半平面。所以在这样的一种情况下0度跟轨迹的情况下，可以从负无穷到零的这种情况下。
系统一定是不稳定的。肯定有一个根是正实根，有闭环特征根为正实根，系统就不稳定，我们不需要讨论这种情况。如果系统稳定的时候，求它的最小阻尼比刚才我们分析已经知道了。阻尼比最小，实际上意味着阻尼角最大。什么时候，阻尼角最大呢？
哎，和圆相切的时候。那么，按照上一章上一讲，我们讲过的例题，这个呢，就没有问题了，相切的时候，此时的主尼角。取得最大值，阻尼比呢？取得最小值，取得最小值，这个题呢？大家可以接着往下做下去做下去。
那么，在这个题目当中，最关键的考察点就在这里。如果大家拿到题目以后没有仔细的读负无穷，到正无穷，只画了零到正无穷的部分。那么，这个题想考察你的主要部分，实际上你已经遗漏了，所以拿到题目要观察仔细，一定不能把0度跟轨迹的这个部分。遗漏啊遗漏，这是啊，我们讨论的一道0度跟轨迹的题，下面呢，我们针对一道例题来讨论参数跟轨迹的绘制。我们来看一下这个例题。
在这道题当中。呃，系统的参变量是这个k注意现在这个k不是独立出来的一个参变量了。分子当中有，分母当中也有。也有他让我们绘制呢这个k。从零变化到无穷大的时候，所对应的闭环特征根轨迹，那闭环根轨迹。
这是第一问，第二问求系统的阶月响应当中含有分量。哎，这么多的时候，他的k的取值范围，其中呢a大于零，欧米伽大于零。第三，问求系统。如果有一个闭环，极点是负二的时候，系统的闭环传递函数。那么，这个题是一个典型的参数跟轨迹的问题。
哎，参数跟归集。提到了参数跟轨迹，我们一定要找到这样的一个东西，叫做等效开环。传递函数。什么叫做等效开环传递函数呢？我们来看一下。
这个系统已知它的传递函数呢。gs它等于四倍的k1-s比上一个s倍的。k+1 s+4由于它是单位负反馈的系统，所以。所对应的根轨迹方程就应该是他。从这个方程里边，我们把开环带进去，以后我们会有。
s的平方k再加上一个s的平方再加4s加上4k。减去一个4 ks应该等于零，应该等于零，我们对这个方程做一个整理。把所有的与k无关的项放在一起。把所有的与k有关的项放在一起，我们有。s^2+1个4s再加上k倍的s平方。
减去一个。4s再减去一个四。应该诶，加上一个四应该等于零好，对它做一个整理，我们有。1+2边同时除以不含有k的这个部分。1+ss+k 4倍的s- 2^2。
等于零，现在我们来观察一下这个部分。哎，这个k现在呢？我们把它独立出来了，和我们标准的根轨迹的方程相比较。和我们这个标准的根轨迹方程相比较，现在呢？这个参数k和根轨迹增益k星，它的位置呢？
是等价的是等价的。所以在这个时候，我们就把这个k倍的x- 2^2。比上一个ss+4叫做等效。开环传递函数。而我们后边的根轨迹呢，就是在这个等效开环传递函数的基础上来绘制的，这是我们绘制参数根轨迹的关键。
参数跟轨迹的关键呢，就是来找这个等效开环传递函数之后，剩下的事情和我们的0度180度跟轨迹。绘制呢，是完全一样的了啊，完全一样的了。我们来观察一下，现在这个系统，它的极零点分布。那。正的几点了啊？
还有正的零点了，所以呢，我们绘制的时候要注意。它存在一对重根，零点都在呢二这个地方，那二这个地方。然后呢？他存在两个极点，一个呢是零。还有一个呢，在负四这里。
好极零点分布，现在我们已经知道了，我们观察一下它的传递函数，这呢仍然是一个180度的根轨迹方程。180度的根轨迹方程，这个180度的根轨迹方程啊，等效180度的根轨迹方程呢？他在绘制的时候，按照180度的跟轨及绘制规则就可以了。实轴上的根轨及区域。这一段负四。
到零肯定是的，它们中间还会存在分离点。然后呢哎，右侧有没有了呢？没有了啊，没有了，所以十轴上的根轨迹区只有这么多。那么是两个相邻的极点，两个相邻的零点，所以它的根轨迹很有可能还是一个圆。还是一个圆，是不是在这个题当中已经不重要了，那已经不重要了。
肯定我们先给大家画一下它的草图，哎从。分离点。d- 2，分之二注意两个相同的零点，应该等于1d，加上d+14从这里边，我们可以解出来d=- 1，也就是说。在负一这个地方，两条从-4和0出发的根轨迹呢，会发生分离。分离以后，分离以后，由于存在两个有限的零点，所以最终跟轨迹呢，都会进入到。
这两个零点区。因此，因此从它的走势当中，我们发现肯定会和虚轴相交，肯定会和虚轴相交。而我们第二问，它求系统接域响应当中含有这样分量的k的范围。我们观察一下。什么叫做这个分量呢？
哎，如果a大于零欧米伽大于零，实际上这个响应分量意味着是一种衰减震荡。而一个二阶系统要想出现衰减震荡，它一定是处于嵌阻尼的状态。什么叫做嵌阻尼呢？在它的根轨迹当中，肯定这个二阶系统，二阶系统它要。具备两个含有副食部的供阿辅熟根，一个嵌阻尼的。
二阶系统。它存在。一对共阿的。十部为负的。扶树根啊，扶树根。
诶，那么从它的根轨迹的走势当中，我们发现想要让系统它的阶月响应当中含有这样的分量。那么这个时候是不是根轨迹就应该位于这样的两段上面呢？如果位于这样的两段上面，我们如果能够计算出来这一点的k。和这一点的k。那么，这两个k之间的区域不就是我们使系统监狱响应当中能够含有这样分量的？
k的区域吗？所以现在我们把问题做了一个转化，那做了一个转化。那么负一是谁呢？负一就是系统的分离点，这个分离点它仍然是在根轨迹上面的。所以负一这一点所对应的所对应的系统的根轨及增益，我们可以用赋值条件来计算出来。
我们有k乘以赋值条件在哪里呢？我们来看一下啊，刚才我们的特征方程在这里，如果s=- 1那。那么x- 2^2它的模是多少呢？就应该是三的平方比上负一的模是一。-1到4负四，他的模呢？
是三应该等于一，这是赋值条件。啊，应该等于一赋值条件s=- 1的时候带到。等效开环传递函数当中带到等效开环传递函数当中，我们得到了这样的一个结论。那么这个时候所对应的k1所对应的k1，我们可以计算出来，它就等于13，也就是说，现在这一点所对应的根轨迹增益，我们已经知道了，再来看这一点对应的根轨迹增益是多少？哎，这一点刚好适合虚轴相交，如果闭环特征方程，我们能够写出来。
那么这个时候利用劳斯阵列，劳斯阵列，我们当然就可以算出来。算出来。所对应的k的范围了啊，所对应的k的范围了，闭环特征方程，我们刚才在这里已经有了啊，已经有了。这个闭环特征方程呢，是这样的1+k倍的s平方。再来叠加上四倍的一减k倍的s+4 k=0。
4 k=0如果出现了啊，全龄行劳斯阵列，那么这个时候呢？我的。系统就会存在供阿的纯须根诶劳斯阵列，全力行出现在哪里呢？k=1这个地方k=1这个地方，所以在我们的根轨集当中是。实际上，这个啊，和虚轴相交所对应的根轨迹增益呢，我们也可以算出来，它就等于一。
而系统想要出现。这样的响应分量必须是嵌阻尼的二阶系统，此时根轨迹在这段区域。而我们的根轨集不就是根轨集增益从小到大变化的一个曲线吗？所以说了啊，所以说了想要让系统出现这样的响应分量，这个时候。参变量必须位于1到3分之一，也就是三分之1到1之间啊，三分之1到1之间。
这是第二问，第二问呢？考察的时候大家必须要转一个弯，必须要转一个弯。如果他难以理解的话，那么这个题。那么这个题呢？你将没有办法往下做下去。
好，这是第二问，第三问，第三问，他问我们如果系统有一个闭环，几点的时候？有一个闭环极点等于负二的时候，求它的浮值条呃，求它的闭环传递函数。哎，这个题呢，也是一样的，通过闭环几点已知的时候来定量的讨论系统的闭环传递函数。那么怎么做呢？我们来看一下。
在闭环特征方程当中，闭环特征方程当中，如果已经知道了一个闭环几点。那么，这个闭环几点呢？根据赋值条件所对应的。所对应的这样的一个k，我们是可以计算出来的，是可以计算出来的，计算出来以后就没有问题了，闭环特征方程也就知道了。我们来看呃k×-2呢，闭环特征啊，刚才我们的等效开环传递函数不是它吗？
那么，当s=- 2的时候k倍的乘以四的平方分子当中？二再乘以一个二，它就应该等于一从这里边，我可以推出来k就等于14，如果k=14了，我们带到闭环特征方程里边去，我们将会有。1+1454倍的x平方，再加上4×34倍的x再加3=0。我们对这个方程做一个整理五的平方，加上一个12，再加上12=0。闭环特征方程呢，就是它了，那就是它了，那么闭环传递函数是谁呢啊？
是谁呢？闭环特征方程，这是一个单位负反馈的系统，单位负反馈的系统。所以我们只要从它的闭环特征方程里边反推它所对应的开环传递函数，当然不这样做行不行呢？可以的，我们来看一下。k不是都算出来等于14了吗？
哎，开环传递函数呢，就应该等于一。乘以1-s比上1s4是多少呢啊？加514。啊54，54倍的s+4+4开环知道了闭环单位负反馈的系统，就等于开环比上一加。加上开环，我们对它呢做一个整理54倍的s平方加4s。
加1-1s，减s1-s也就等于。做一个整理五倍的s平方，然后呢，再减去一个。加上一个12倍的s，再加上。四分之。四倍的1-s，我们习惯上呢，把它的首项啊，末项都写成一的形式。
08倍的1-ss+0点4s+2你看一个闭环特征根。等于-2=-2还有一个闭环特征根呢，等于负的0 4啊，等于负的0 4，那么这个题呢？我们就求完了啊，就求完了，刚才呢，我们举了两道例题，分别讲解了0度跟轨集和参数跟轨集的绘制啊，参数跟轨迹的绘制。那么，在根轨集这一章当中呢啊，我们的考察点我们说过了，主要就是画三种根轨集。画出来以后，要么是让你定性的分析，要么是让你定量的分析，总之我离不开两个条件，扶植条件和向角条件。
在这中间，我们还要格外注意系统是不是存在主导极点，是不是有偶极子主导极点和偶极子的存在，会使系统的性能计算。简化那性能计算简化，这是我们在第四章的考察时候呢，需要注意的问题，那么第四章呢，我们就复习到这里，这一讲我们就讲完了。谢谢大家，再见！