各位同学，大家好，欢迎来到考试点这一讲呢，我们将接着上一讲来复习线性离散控制系统的分析与矫正。在上一讲当中，我们呢，已经了解了该如何建立一个离散控制系统的数学模型，尤其是它的脉冲传递函数。并且借助于数学模型，我们该如何来分析一个离散控制系统的稳定性啊？我们讲了三种方法，第一种。如果这个离散控制系统，它的几点闭环几点很容易能够看出来，那么我们只要判断它闭环几点，是不是分布在z平面单位圆的内部？

就可以判定它的稳定性。此外，我们介绍了一种方法，叫做租赁稳定判。据那么，租赁稳定判据呢？它需要借助于租赁阵列以及一系列的条件来判定它的稳定性。再有，通过双线性的变换嗯，双线性变换我们把。一个系统，它的闭环特征方程从z域转化到欧米伽域当中，那么欧米伽域当中的欧米伽平面呢？和s平面是完全一致的，我们可以借助于连续控制系统的劳斯稳定判距。来判定一个理想控制系统，它的稳定性，那么在这一讲当中呢，我们将接着来分析如何来判定它另外两个方面的性能。

一个呢，是它的稳态精度，稳态精度，也就是稳态误差，那么要注意一点。要讨论稳态误差前提条件。系统一定要稳定，一定要稳定，那么遇到了这种情况，我们在拿到题目的时候。首先要计算稳态误差。之前先要看它，先要判定这个控制系统，它是不是稳定的，只有稳定的控制系统才存在稳态误差。如果这个离散控制系统稳定了以后，我们计算稳态误差呢，可以通过这样的几个途径，第一，我们可以利用啊z域当中的中值定理，那z域当中的中值定理。

那么，在用z语当中的中值定理的时候呢？我们要注意一点，要注意一点这里。在用s域的中值定理的时候，这里是s同时呢s呢，它是趋近于零的。而z域当中，由于虚轴映射到了单位圆上面，所以呢，这里变成了z- 1，那z- 1，那么这个地方z是趋近于。一的那么有些同学也会在这个中值定理这里呢，见到他就等于limit z趋近于1 z- 1×ez。原因在于，这里通风完了以后，不是应该有一个z吗？

当z趋近于一的时候，他的极限就是一，所以呢啊，我们也可以简写为这样的形式。和连续控制系统一样，离散控制系统，它的稳态误差也和系统的类型是有关系的。只不过，在连续控制系统当中，这个系统的类型呢，是由它分母当中所串联的积分环节的个数来确定的。而在z域当中，他的啊类型是由他的闭环传递函数当中。分母当中所含的z- 1的个数来确定的，那来确定的，这是第一种。计算离散控制系统稳态误差的方法，除了这种方法之外，我们还可以呢，用静态误差系数法。

来计算啊，一个离散控制系统，它的稳态误差，那么在这里我们要记住三种啊，静态误差系数，它的定义式啊，定义式。其中，静态位置误差系数，它是1+1 gz那1+1 gz。在连续控制系统的啊静态位置误差系数里边，它呢等于多少呢？哎，它等于啊啊。s趋近于0 gs hs hs，他们二者是有差异差异的，那是有差异的。那么，静态的速度误差系数是这样定义的，那是这样定义的，静态的加速度，这里有一个平方，有一个平方。

它和连续控制系统的静态速度呢？实际上，定义式啊，基本上是没有区别的。静态的加速度对于连续系统而言，加速度误差呢是s的平方gs hs啊，平方一次方这里呢一次方。平方区别呢，是没有多大的，那没有多大的。不同类型的系统，它对于啊嗯单位反馈的离散控制系统而言，所对应的稳态误差也是不一样的。和静态误差系数之间有这样的关系，那么在这个公式当中呢？在这个表当中，大家要注意这里的两个问题，那这里的两个问题。

t和t的平方，如果这是一个连续控制系统，那么。所对应的那个表，大家还记得吗？连续控制系统系对于监阅信号菱形系统的啊，稳态误差是1+1 kp。这里呢，是1 kv，这里是1 ka，而离散控制系统，这里出现了较大的区别，出现了较大的区别。那么，这个区别体现在哪里？体现在这儿一就跑这儿来了，所以本质上来说，如果。我把kp在这里定义为limit z趋近于一，那z趋近于1 gz的极限的话，那么二者这里是没有差异的啊，是没有差异的。

那么，这个t的存在t的存在，大家要搞清楚，如果现在采样周期等于一了。来它和连续控制系统也没有区别了啊，也没有区别了，这是静态误差系数，这个表需要大家呢，记住它当然记的时候不一定要按照书上的这种定义方式。完全可以可以呢，联系着连续控制系统的静态误差系数法一样来记忆，我们现在已经讨论了如何分析一个采样控制系统的稳定性，以及它的稳态误差。那么，除了这两个方面的性能之外，还有一个方面就是它的展态性能了啊，展态性能了，讨论一个离散控制系统的展态性能。

我们既可以定量的计算，也可以定性的分析，如果需要定量计算，那么展态性能里面包括什么呢？哎，调节时间了。上升时间啦，分值时间啦，超逃量啦等等，这样的一些指标在离散控制系统当中有没有呢？我们说是有的啊，是有的。比如说我们如果知道了输出的表达式，求一个z的反变换所对应的离散脉冲序列，输出的离散脉冲信号，我们也就知道了。知道了，这个离散信号以后，我们从这个离散信号的分布当中。

也可以来讨论什么时候进入了允许的误差区域，它的调节时间是多大？什么时候到达了最大的分值？而分值时间又有多大？那么，从它的响应曲线当中，我们也可以计算获得，所以呢，啊，这个地方我们只要借助于z的反变换理论。就可以啊，分析它的展态性能了，这是啊，定量的计算，而定性的分析，定性的分析。我们可以通过几种情况来分别讨论第一种情况。如果闭环几点位于单位圆之外，并且是复数几点？

那么，联系我们的连续系统，连续系统，如果连续系统的闭环几点是复数几点，它共阿出现那一对？共额根的形式出现，那么这个时候如果是在s的左半平面系统稳定，它所做的运动呢，是一种衰减诊断。而对于离散控制系统而言，s平面的需求映射到了z平面的单位圆。在单位圆外系统不稳定，如果是复数几点，它对应的展态响应呢？是一个发散的震荡序列，震荡序列，也就是说。它仍然呈现发散震荡，只不过呢，是离散信号了，离散信号了，他会做这样的形式。

所对应的包络线。将会是呈现发散震荡的啊，发散震荡的，这是第一种情况啊，如果是在单位圆上，单位圆上。那么z平面的单位圆就相当于s平面的需求，如果连续控制系统，它的几点位于需求上连续控制系统呢？是处于临界稳定的，它会做等幅诊断，对于离散控制系统而言。一样的，它会呈现等幅震荡，只不过呢，出现的仍然是离散序列，那离散序列同理单位圆的圆内，它会呈现收敛震荡啊，收敛震荡。

这是复数几点的情况，而如果是实数几点实数几点，那么连续控制系统如果出现实数几点？在正时轴上，它会做单调递增，负时轴上会单调递减。如果就在坐标原点，它会做一种啊。常数运动，常数运动，而对于离散系统而言，离散系统而言，如果实数几点位于单位圆外，但是在负实轴上。不是轴上那么这个时候呢，他会做发散的运动，发散的运动单调的递增，单调的递增，那么这个时候啊，这个时候。只不过要注意，它会是一个符号交替变化的，交替变化的，而如果如果是在单位圆的圆周上临界稳定，它会做等幅的。

符号交替变化的啊，等符的符号交替变化的，这样的一种等啊。脉冲序列啊，脉冲序列，这是在临界稳定的情况下啊，如果它在负时轴内负时轴内单位圆内的负时轴上。那么这个时候系统稳定，它呈现的呢是衰减性衰减脉冲，只不过也要交替变号交替变号。而如果在单位圆外的正时轴上，正时轴上。那么这个时候系统也不稳定啊，也不稳定，他仍然会做。交替变号哎，这个地方不变号了，就是一个发散序列啊，就是一个发散序列，这点呢要注意啊，如果在单位圆的圆外，它就是一个。

呈指数形式递增的发散序列，那发散序列这是我们啊提到的几种情况，那几种情况。在了解了哎，还有如果在正时轴的单位圆上临界稳定，现在呢，符号不交替变化了，做的是等幅序列，那等幅脉冲等幅脉冲序列。如果在单位圆外的单位圆内的正时轴上收敛系统是稳定的，稳定的，因此它是按照指数规律收。收敛的这样的一个脉冲序列啊，脉冲序列，因此我们拿到了一个闭环系统，以后如果我们能够判断出来它闭环几点的分布？

那么，按照它几点的分布情况，我们就可以来分析一个离散控制系统，它的展态性能。那么，在我们啊，近些年来的针对于离散控制系统的考试题当中呢？关于。对于散态性能的分析，涉及到的是比较少的啊，比较少的如果想要分析一个离散控制系统考点，经常会落在稳定性和稳态误差的计算上面。因此呢，大家在性能分析当中，对于稳态性能的分析要格外关注啊，要格外关注，那么前面提到的是建立模型分析系统的性能。

除了分析之外，第七章还涉及到了离散控制系统的设计，那么这个设计呢，是一种最少拍系统的设计，也就是说。我们假设一个数字控制器，它的脉冲传递函数呢？等于这么多，那脉冲传递函数等于这么多。那么，最少拍设计的原则是选择恰当的闭环传递函数。使系统在典型输入信号的作用下，经过最少的采样周期以后就能。输出离散序列，而且这些离散序列呢，在采样时刻所对应的稳态误差是等于零的。

达到输出序列对于输入信号完全跟踪的目的，从而确定数字控制器。需要什么样的结构？那么这种关于离散控制系统的设计的问题呢？在考研过程当中，几乎是不涉及的啊，是不涉及的，所以大家可以。在这个方面呢啊，了解一下基本概念就可以了，那就可以了。这是我们第七章啊，理想控制系统分析与设计啊，所涉及到的所有重要知识点，重要知识点。那么，在考研过程当中，针对这章的内容，我们会遇到哪些问题呢？

哪些问题呢？在这一章当中，我们设计了三三个问题，实际上一个。一个是建模。一个是对离散控制系统来进行分析，这个分析呢，着重落在稳定性。和稳态误差，它的计算上面此外很少会涉及到离散控制系统的设计。针对这三个方面的内容呢？考生在复习的时候主要要掌握这样的几个几个问题第一。能够熟练的计算开环或者是闭环的脉冲传递函数，能够求解简单的差分方程。求解简单的差分方程，那么在求解差分方程的时候呢？

要注意一点差分方程，它的基本解的构成是指数序列，而不是啊，而不是。来是这样的指数序列，而不是像e的负at这样的一种指数信号。能够在z域和欧米伽域内分析系统的稳定性，也就是说能够用助力判距或者是极点的分布，或者是劳斯判距来判定它的稳定性。掌握离散控制系统稳态误差的计算以及动态响应的计算，提到动态响应，实际上呢，如果考就。就是一个z的反变换，它的求解过程啊，了解最少排离散控制系统的概念啊，这是对于我们这一章啊。

经常会遇到的一些啊。考研点啊，考研点下面呢，我们针对一些典型例题，对于刚才复习到的知识点呢，加以巩固啊，加以巩固。那么，首先我们来看一道相对来说比较简单的题啊，比较简单的题。那么，首先来看这个题。这个题呢，是这样的，给了你一个采样控制系统，让我们来求这个采样控制系统。它的脉冲传递函数闭环脉冲传递函数。我们先来观察一下这个系统，这个系统它的输入信号，输入信号，这里呢，是有采样开关隔开的。

输出呢，我加一个虚拟采样开关，以后也可以做离散化的处理，遇到了这种情况，输入和第一个前向通道的环节之间。如果有采样开关隔开，那么闭环脉冲传递函数是完全可以求取的啊，求取的。我们来分析一下，那么拿到了离散控制系统，拿到了离散控制系统，如果想求它的闭环脉冲传递函数。实际上，我们完全可以利用梅形公式来进行求解，也就是说，梅形公式对于线性的连续系统可以用。对于线性的离散系统，我一样可以用，一样可以用，只不过用的时候要注意在这些环节之间。

是不是经过了采样开关的隔开，如果没有那么对应的这些传递函数，应该是他们乘积的拉式变换，乘积的z变换。如果有采样开关隔开，那么对应的是他们各自z变换的层级好，针对这个题，我们来看一下。在这个系统当中，从输入到输出经过的前向通道呢，有两个。第一个前向通道h1g1g2G3，其中呢，h1和g1是没有采样开关，隔开的g2和G3呢？没有，而g1和g2是经过采样开关，隔离开来的。

所以前项通道呢，就应该是h1g1乘积的z变换再来乘以g2G3乘积的z变换，这是第一个前项通道。还有没有前向通道呢？我们来看这里仍然形成了一个前向通道，而且在这条前向通道当中。所经过的三个环节是没有采样开关隔开的，所以前向通道增益呢，应该是h1h3G3乘级的z变换。好前向通道的增益找到了再来看一下闭环，在这个系统当中只有一个闭环。所对应的闭环增益是多少呢？回路增益来。

它经过了这样的一个啊环节，有的同学说了g1和g2呢，是经过采样开关隔开的，所以闭环增益应该是g1z×g2G3。h2乘积的z变换是不是这样呢？不是的，我们说过了，如果我们能够找到一个通道，按照信号流动的单向性。这些环节之间没有经过采样开关隔开，只要能够找到这样的一个通道，那么这个时候所对应的就应该。那传递函数就应该是他们沉积的。z变换啊，乘积的z变换，因此这个系统它是有闭环脉冲传递函数的，闭环脉冲传递函数是多少呢哎来？

来对应的回路增特征，多项式就等于1+g 1g2g三二。乘积的变换，而且两个前向通道和回路呢，都是有公共部分的，所对应的闭环传递函数就应该等于一记忆。一的z变换乘以g2G3乘积的z变换。加上一个h1h3G3乘积的z变换，比上1+g 1g2G3h2的z变换。像这种来求一个离散控制系统脉冲传递函数的题型呢，哎，在我们的离散控制系统的考察当中，很少会单独出现。但是正确的求得传递函数是我们能够下一步对离散控制系统来进行分析的关键，因此呢，像这种求脉冲传递函数的问题一定要啊，熟练的掌握。

这是我们举的第一个例题，下面呢，我们再来看一个题啊，再来看一个题。如果现在给了你一个离散控制系统。它的结构图呢？是这样的啊，结构图是这样的，我们来看一下这个离散控制系统。输入信号和第一个环节之间是有采样开关，隔开的是有采样开关，隔开的，所以呢，它的闭环脉冲传递函数我们是可以求出来的。第一问就让我们求b环脉冲传递函数，再来观察一下这个题，从它的结构图当中我们发现。

这个系统当中呢，含有了一个临接保持器。还有了临接保持器的系统，在分析的时候，我们应该注意什么呢？那应该注意什么呢？待会儿我们再来看一下。然后第二问，第二问在建立完了它的传递函数以后，分析参数给定情况下。系统的稳定性啊，稳定性那么知道了，传递函数我们根据传递函数的具体形式决定，我们该采用哪种方法来判定它是否稳定？然后第三问需要让我们计算在达到了。临界稳定时候所对应的参数k第四问，第四问分别讨论这个系统在三种不同典型输入信号作用下的稳态误差。

这个题呢，是一个综合性比较强的题，也是在离散控制系统的考核当中，经常会遇到的一类题。我们说了控制原理的考试，他往往拿到一个题，以后他考察的点绝不仅限于一个总是环环相扣的，环环相扣的，所以呢，像这种题型需要我们。概念呢，格外的清楚啊，格外的清楚，下面我们来看一下这个题啊，看一下这个题，首先要求它的闭环脉冲传递函数。这是一个单位负反馈的系统，它的闭环脉冲传递函数是谁呢？

我们来看一下。fz它等于输出的z变换与输入z变换的比值，前向通道，前向通道。现在呢？是有两个环节没有经过采样开关的隔离所形成的，所形成的所。所以我们可以这样来看一下，实际上前向通道是求的，这两个环节相互串联。乘积的变换。乘积的这边换，然后呢？只有一个闭环单位负反馈系统，所以分母多项式是一加上它。它们啊，沉积的c变换。也就是说，现在想求这个题的啊，闭环脉冲传递函数实际上就变成了啊，求它。

的z变换这样的一个问题了，那么它的z变换是谁呢？是谁呢？我们来看一下哎，这就要用到我们在前面啊。讲过的求z变换的一些理论了，对于这个题，我们用部分分式展开法来求一下它的z变换。展开以后就应该等于的平方，再加上再加上加一要注意一点，要注意一点。在这里存在了一个1-e的负的ts1-e的负的ts，那么这样的一个啊，这样的一个叫什么呢？啊零界保持器，它的这个部分移出来以后就是一个1-z的负一次幂，也就是z z-1啊，它所对应。

的z变换是这么多啊，是这么多这个呢，要注意，然后展开以后，这里分别是。一-1和1啊，一-1和1那么每一个典型信号。所对应的z变换是谁？那么典型信号的z变换需要大家熟练的啊，记住它。就应该等于z z- 1x的平方分之一，对应的时间信号呢？应该是斜坡信号t在对t做了离散化以后得到的斜坡序列。它的z变换是z- 1^2分之tz，而这个1s对应的呢是，监阅序监阅信号监阅。

电信号离散以后接越序列，它的变换呢是z-z 1，而它的拉式反变换是e的，负ate的，负e的，负t。e的负t得到的离散序列这样的一个衰减指数序列，它的z变换呢是z-e的。负的zt那e的-z t好这，样的话它，所对应的z变换我就知道了等，于谁呢，z-tz1-t1再减去一个，一+1个z-e的负。-z t- 1经过整理以后，他就等于z- 1，z-e的负t啊，通分以后上面的分子多项式呢，经过整理应该等于q。

减去的负再减去倍的减一减去的负，加上一个。注意。这里是有一个k的啊k，我把它提出来了，啊k提出来了。k乘以它啊k乘以这么多，所以呢，这里有个k，然后呢，再加上k倍的z- 1^2整理以后，它就应该等于。z- 1，z-e的负t哎，经过整理z- 1 z- 1的负TK倍的。这里边是的负加一再减一倍的，再加上一减去的负减去的负啊是这么多。整理以后，我们发现这一串它的z变换呢，是它知道了它以后系统的闭环脉冲传递函数，我就可以得到了。

就等于啊，分子是它分母呢，是一加上它那么经过一下整理，它就应该等于。z的平方，再加上k倍的e的，再减去一加上的负倍的，再加上倍的一减的负。减去e的负t，再加上一个e的负t啊，加上一个e的负t分子呢，相对来说比较简单，就是它了。倍的的负加减一倍的，再加上一减去的负t减去的负那的负。闭环脉冲传递函数，我们现在呢，求出来了，第一问我们就解决了，那第一问我们就解决了，下面我们来看第二问。

第二问是在建立起数学模型的基础上来分析它的稳定性，这呢，是一个二阶的系统。当所对应的参数k给定以后。k=10 t=1那么在这种情况下把k=10 t=1呢带到闭环特征方程里面去。所对应的闭环特征，多项式代进去以后，经过整理，它应该呢等于z的平方。加上23z再加3=0，这是闭环特征方程z域内的闭环特征方程二阶的。然后把kt分别带进去，以后得到的结果是他，那结果是他那么得到了这个方程，以后很简单了。

我既可以二阶方程嘛，我完全可以求解，求解完以后z呢等于负的23加减借26，再来除以二，我们看一下这两个根，这两个根不管实部也好，虚部也好，都大于一，他肯定是分布在。单位圆的外部的分布在单位圆外。因此，它肯定是不稳定的，是不稳定的。其次，如果我们用助力阵列呢啊，用助力阵列呢啊，我们来看一下用助力阵列的话第一。他没有问题，肯定是大于零的系数全为正，而这是一个二阶的d的负一是多少呢？

加。1+1个二点3×-1再加三再加三，那么所得到的值呢是大于零的，是大于零的。那么，我们在前面讲助力阵列的时候，我们说了，如果是偶数，那么它必须小于零系统才能稳定啊，才能稳定所。所以呢，系统也是不稳定的啊，用助力阵列也好，助力判据也好，用我们的。这样的一个啊，几点分布实际上呢？我们提倡大家如果拿到二阶系统，直接求它的几点，看看它是不是在单位圆的内部啊？这样来判定会比较容易一些。

这是啊，第二问第二问分析了系统的稳定性，第三问让我们求t=1的时候，如果系统临界稳定，它的临界开环增益。啊临界开关争议好，我们来看一下啊，这样一个问题，第三问。如果t是等于一的要求k让系统呢，满足临界稳定。临界稳定，那么当t=1秒时带到闭环特征方程里边去。带到闭环特征方程里面去，我们得到的闭环特征方程呢？是这样的。z的平方k是未知的k是未知的，那么与z有关的系数是多少呢？

加上03六八倍的减去一个1368。然后加上一个0264，再加上0368，它要等于零啊，要等于零。现在闭环特征方程变成了这么多，变成了这么多，对于二阶系统而言，对于二阶系统而言，如果希望它稳定。希望它稳定，那么我要求当z=1的时候，它必须大于零。z=- 1的时候，它也必须大于零，同时呢，a0的绝对值要小于a2。按照这样的三个关系式，我们来看一下当z=1的时候等于一的时候代进去以后。

零点368-1点368加上一个0264，加上0368它。它必须要大于零，必须要大于零，想要让它大于零，它俩的和就必须呢，要大于一大于一。这样的话，我们可以算出来啊，可以算出来。k它必须要大于某个数啊k呢，必须要a1啊，应该是一加上它那么这个时候它要大于零。这个时候你看完全抵消掉了，只要k大于零就可以了，而当dd里面z如果等于负一的话，我们来看一下。加上一个0368。

哎z=-1应该是1-1个0368k，加上一个1368，再加上0264k加上0368。它必须呢，也要大于零，它要大于零来，它俩是负的，我可以算出来k，现在呢，要小于263，k要小于263，同时，还要满足这样的一个关系式。也就是说，一它必须呢，要小于哎，应该说它们的绝对值，那绝对值应该满足这样的一个关系式。一要小于0264k，加上0368，加上0368，从这个式子里边，我们可以推出来。

想要让这个系统稳定的话，那么这个时候的k它必须呢要。大于某一个数什么数呢？来，我们来看，从这个不等式里边，我们解出来k，它必须要大于1-0点368，也就是说。它的绝对值要大于它的绝对值，那么这个时候有两种情况，有两种情况，如果它。大于负一，它大于负一。它的绝对值啊，也就是说如果它是一个比负一小的负数，满足这个条件。如果它是一个比一大的正数，也满足这个条件两种情况啊，比一负一小的负数可以比一大的正数呢，也可以。

从这样的一个关系式里边，我能够解出来k它要小于239大于负的52大于负的52，两个关系式注意啊，要想满足它的绝对值，小于a2的绝对值，我必须满足一个条件啊，它要么小于负一，要么呢是大于一。大于一那么结合这样的三个条件，想要让系统稳定k呢，必须小于239同时呢，大于零。大于零，那么什么时候能够临界稳定呢？哎，它就是当k=2点三九的时候，系统处于临界稳定状态啊，系统。

处于临界稳定状态呃，带进去你们也可以验证一下，如果k=2点三九我们可以看看它是不是存在一对位于单位圆上的啊，单位圆上的几点存在位于单位圆上的几点？几点？如果有，那么他就是临界稳定的，这是啊，我们判定的第一种方法。当然，稍微复杂一点，你说我想用双线性变换把它转化到哎欧米伽玉当中去，然后列劳斯阵列来找全龄行，全龄行判定它稳定可不可以呢？我们说是。实际上也是可以的，那也是可以的。

这是第一种方法嗯，讨论的啊，临界稳定时候的增益第三问。第四问。他让我们看一下当k=10 t=1时在三种不同典型信号作用下系统的稳态误差。要讨论稳态误差，我们说了有两种途径，一个呢，我们可以求它的误差表达式误差表达式，然后呢，利用z域当中的中值定理来计算稳态误差。还有一种方法，还有一种方法，我们可以用静态误差系数法求出来，所对应的静态位置，静态速度和静态加速度问。

误差那么典型信号作用下的稳态误差呢？我们也能够求出来，下面呢？我们用静态误差系数法来做一下这一问。当k=10 t=1的时候，这个系统它的开环传递函数。来开环传递函数是谁呢？就是它了，就是它了，也就是这个东西哎，也就是这个东西。我们把它带进去，把k=10 t=1带到这个开环传递函数里面去。我们有此时系统的开环传递函数，就等于啊。z.减一啊z- 1我们是有的。然后呢z-t等于啊一代进去z- 0点368 z- 0点368上面呢，是一个关于z的多项式k，是等于十。

值的03六八倍的z+0点264啊，带进去，具体的值以后我们得到的开环传递函数呢，是这样的。按照开环传递函数已知情况下静态误差系数的计算公式，我们有。静态的位置误差系数，它等于limit z趋近于一一，再加上一个。gz gz这是一个单位负反馈的系统，也就是把z带到这个极限里边，哎，它就应该等于多少呢来？z趋近于一的时候好了limit z趋近于一一，再加上一个z- 1 z- 0点368。

上面是0368z，加上0264当z趋近于一的时候，这是无穷啊。所以呢，静态的位置误差系数是无穷大是无穷大，那么提到了静态位置误差系数，针对的输入信号呢？就是单位接月，单位接月，因此在单位接月输入信号作用下的稳态误差。就等于1 kp，也就等于零，说明这样的一个系统对于静态的接页输入可以做到无差跟随，无差跟随。再来看一下，如果是要计算外加激励是单位斜坡。也就是在单位速度。

输入时。在单位速度输入时，我们要计算的是静态速度误差系数，它就等于limit。z趋近于一用z- 1来乘以gz他的极限，那他的极限。开环传递函数呢？我们刚才已经求出来了，代进去以后我们有减一和这里的减一约掉了，也就等于limit趋近于1-0点三。0368点368+0点264那0264这个值我们带进去以后发现发现。它是等于一的啊z=1的时候带进去，它是等于一的啊，它等于一意味着此时在单位速度输入信号的作用下。

所对应的稳态误差等于t kv采样周期呢，又等于一，因此它就等于一。说明这样的一个离散控制系统几型的呢？哎，我们来看一下刚才提到的这个离散控制系统，它是几型的？离散控制系统的类型是由它在分母多项式当中所出现的。z- 1的个数来确定的，因此这是一个一型的系统。一型的系统，这个一型系统呢？对于单位的速度输入能够做到有差跟随跟随误差等于一。再来看一下单位加速度输入。

在单位加速度，加速度输入信号的作用下，此时的静态加速度，误差系数等于limits趋近于1 z- 1^2。乘以gz开环传递函数当中只有一个z- 1啊，只有一个z- 1，那么，和z- 1^2约掉以后，那么这个时候静态加速度误差系数是等于啊零的等于零的，当z趋近于一的时候。它是等于零的，等于零的话，意味着在静态加速度作用下的稳态误差等于t ka的平方，也就等于啊，无穷大。

说明这个一型的离散控制系统对于单位加速度信号不能跟随，而不能跟随，因为此时的稳态误差呢是无穷大啊，是无穷大。这是我们讲的第二道例题，第三个题啊，第三个题我们来看一下，这是一个离散的控制系统。让我们绘制当开环增益在零到无穷变化时候，系统的根轨迹图啊，系统的根轨迹图。要求在这个图当中呢，我们还要标出来，标出来所对应的每一个特征数据啊，特征数据确定，让系统临界稳定时候的。

增益k的值增益k的值，那么这个题呢？重点考察在。如何绘制一个离散控制系统？它的根轨迹图啊，根轨迹图。那么，绘制一个离散控制系统，它的根轨迹实际上绘制规则是和连续控制系统呢完全一致的。只不过只不过现在我们是换到在z平面当中来作图了啊，来作图了。在用离散控制系统，它的根轨迹图分析，离散控制系统的稳定性的时候，我们要注意一点。现在现在判定一个离散控制系统是否稳定它的临界值呢？

是在单位圆上面。所以如果我们要计算让系统临界稳定时候的k值，实际上我们是要找我们画出来的根轨迹是。是不是和单位圆会相交？如果相交交点处对应的增益是多大？那是多大？下边呢，我们来看一下这个题怎么做啊？怎么做那么这个题它的结构图呢？和刚才我们讲的那个题呢？是完全一样的。所以我们利用刚才那个题当中，我们已经算出来的开环增益啊，开环增益来啊，开环传递函数啊，来讨论一下啊，来讨论一下。

在这个题当中，由于呢，已经告诉我们了，它的t是等于一秒啊t=1秒。因此，带到开环传递函数里边去，我们有。这个题的开环传递函数应该等于来带到刚才这样的一个开环传递函数里边。等于k倍的0368z加上0264比上一个z的平方二阶多项式啊展开。减去1368z再来，加上一个0368，那么我们观察一下哎。刚好是可以因式分解的，所以我们能够把它分解为z- 1 z- 0点k368倍的0368z加。

加上0264，这是这样的一个题，它的根轨迹根轨迹分析法，我们说了是借助于开环系统的传递函数。来分析闭环系统的性能，因此我们要讨论的啊，要找的是这个系统的开环脉冲传递函数。这个闭环系统，它的闭环特征方程呢，就是1+z- 1 z- 0点368=0。等于零属于180度的跟轨机，属于180度的跟轨机，这个系统它存在了，存在了一个开环零点。一个开环零点，两个开环极点，它的极零点分布在z平面当中，我们可以呢画出来。

这如果是那个z平面，它存在一个开环零点，这个开环零点呢，在零点啊，如果这是单位圆，我们想画一个单位圆。这个单位圆呢是z平面当中判定系统是否稳定的一个分界线了啊，这是界一。它的零点呢？在0707负的07啊717这个地方存在两个开环极点，分别位于啊两个开环极点。分别位于一。另外一个呢是在0368啊0368这个地方，由于是180度的跟轨迹绘制规则和连续系统一样肯定。

在这两个极点之间，会存在分离点，然后这个零点还有一个无限零点，它们之间呢，会存在汇合点，会存在汇合点。而且从它的极零点分布当中，两个相邻的极点，两个相邻的零点对应的辅平面当中的根轨集呢，应该是一个圆。应该是一个圆那么分离点，我们可以用分离点的计算公式啊sigma I从一到n。d-pi所有的啊，几点它的导数之和等于sigma借从一到md减去所有的零点的导数之和。

代进去d- 11加上d- 0点1368等于d+0点七幺17，从这里边我可以计算出来，分离点和汇合点，一个是0648，还有一个呢是负的2081哎，恰好都在我们时轴上根轨迹所在的区。区域内所在的区域内，而且利用连续控制系统当中，我们讲过的证明俯平面当中的根轨迹是一个圆或者是圆弧啊，是圆弧。我们可以得到啊，可以得到在这两个啊，几点之间分离以后我们会在这里发生汇合，发生汇合。

然后两条根轨迹呢，分别是这样的一条到这了，一条到无限零点处了。而且通过我们今天讲的方法，我们可以证明出来这个圆它的方程是这样的，就是以这个圆心，以这个零点来作为圆心。应该是呢，德尔塔加上一个0717的平方半径呢，就是这一段了啊，就是这一段了，这一段是多少呢？哎，这一段是多少呢？零点707+1个0648到0648等于1365的平方啊，很容易能够证明出来是这样的一个圆。

要想求它的临界稳定，实际上我们就是在求它的根轨集和单位圆的交点。也就是说，我们通过联立这样的一个方程，这是单位圆的，哎，单位圆的方程，达尔塔的平方加欧米伽的平方等于一。两个方程当中，我们解出来焦点，这个焦点呢？通过方程的联立，求求解，它应该等于20243加上借。09690点969哎，由于这个点它是在根轨迹上所。所以他肯定应该满足扶植条件和上缴条件好了，已知闭环几点带到扶植条件里边去，我们就可以。

复试条件在哪里？我们来看一下，在这在这我们可以计算出来，当它等于啊0243加点70969的时候开环增益呢近似。等于24也就是说现在在开环增增益等于24这个地方是系统的根轨级和临界稳定的判定标准，单位元相交了。相交了好这个题呢，我们是想告诉大家如何来绘制一个离散控制系统，它的根轨迹要注意绘。绘制的规则和连续系统是完全一样的，绘制出来根轨迹，以后如何来分析系统的性能啊？

分析系统的性能。通过这几道例题的讲解，大家能够发现，实际上在考研的过程当中，如果涉及到了离散控制系统的性能分析。经常情况下，我们分析的都是它的稳定性和稳态误差。暂态性能我们涉及的非常少，所以呢，大家可以有针对性的去对这方面的知识加以巩固。第七章呢，我们就复习到这里了啊，谢谢大家，再见。