解 由图 3-53 可得系统的开环传递函数为
\[G(s) = \dfrac{K_1}{s(0.05s+1)(0.1s+1) + K_1 K_2 s}\]
则系统的闭环特征方程为
\[D(s) = s(0.05s+1)(0.1s+1) + K_1 K_2 s + K_1\]
\[= 0.005s^3 + 0.15s^2 + (1+K_1 K_2)s + K_1 = 0\]
利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下所示：
\[
\begin{array}{c|cc}
s^3 & 0.005 & 1+K_1K_2 \\
s^2 & 0.15 & K_1 \\
s^1 & \dfrac{0.15(1+K_1K_2)-0.005K_1}{0.15} & \\
s^0 & K_1 &
\end{array}
\]
欲使闭环系统稳定，则须有
\[
\begin{cases}
0.15(1+K_1K_2) - 0.005K_1 > 0 \\
K_1 > 0 \\
K_2 > 0
\end{cases}
\]
\[
\Rightarrow
\begin{cases}
K_1 > 30 \\
K_2 > 1/30 - 1/K_1
\end{cases}
\text{或}
\begin{cases}
30 \geqslant K_1 > 0 \\
K_2 > 0
\end{cases}
\]
则可画出 \(K_1\)-\(K_2\) 平面上参数稳定域的概略图形，如图 3-54 中阴影部分所示。
图 3-54 参数稳定域
MATLAB 文本及仿真结果如下：
分别取 \(K_1=10\)；\(K_2=0.005\)；\(K_1=10,K_2=0.5\)；\(K_1=40,K_2=0.005\) 及 \(K_1=40,K_2=0.5\) 四组参数。系统单位阶跃响应如图 3-55 所示。
MATLAB 程序：exe351.m
K1=10; K2=0.005;
numg1=[K1]; deng1=[0.05 1]; numg2=[1]; deng2=[0.1 1 0];
[numg3,deng3]=series(numg1,deng1,numg2,deng2);
numh1=[K2 0]; denh1=[0 1]; [numg,deng]=feedback(numg3,deng3,numh1,denh1);
numh=[1]; denh=[1]; [num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);
figure, step(num,den,5); grid on;
3-52 已知控制系统如图 3-56 所示，试求：(1) 系统稳定的条件；(2) 当 \(K=1\) 时，使系统临界稳定的 \(\lambda\) 值。
解 (1) 系统稳定的条件。
由图 3-56 可知，系统的闭环传递函数为
\[\Phi(s) = \dfrac{K}{s(s+5)(s-1) + K(1+\lambda s)}\]
则闭环特征方程为
\[D(s) = s(s+5)(s-1) + K(1+\lambda s) = s^3 + 4s^2 + (K\lambda - 5)s + K = 0\]
利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下所示：
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