考研851 自动控制原理
题海 · solution · p.328

数为

\[ G(s) = \dfrac{50(0.1s+1)}{s^{2}(Ts+1)} \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{10(0.1s+1)}{s(Ts+1)}} = \dfrac{50(0.1s+1)}{s(Ts^{2}+2s+10)} \]

则系统的开环频率特性为

\[ G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{50(1+\mathrm{j}0.1\omega)}{\mathrm{j}\omega(10-T\omega^{2}+\mathrm{j}2\omega)} \]
\[ = -\dfrac{5(10+T\omega^{2})}{(10-T\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}} - \mathrm{j}\dfrac{10(50-5T\omega^{2}+\omega^{2})}{\omega\left[(10-T\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\right]} \]

开环幅相特性曲线的起点为 \(G(\mathrm{j}0_{+})=-0.5-\mathrm{j}\infty\)；终点为 \(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。

当 \(0<T<0.2\) 时，系统概略开环幅相特性曲线与实轴和虚轴无交点，如图5-124(a)所示。

图:自控原理题海_p328_fig1

图5-124 系统开环幅相特性曲线(MATLAB)

因为 \(\upsilon=1\)，在幅相特性曲线上 \(\omega=0_{+}\) 的对应点起逆时针补作 \(90°\) 且半径为无穷大的虚圆弧。由图5-124(a)可知，系统的幅相特性曲线不包围 \((-1,\mathrm{j}0)\)，即 \(N=0\)；再由 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点数 \(P=0\)。综上，闭环系统稳定。

当 \(T>0.2\) 时，系统幅相特性曲线与实轴的交点：令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\)，解得

\[ \omega_{x} = \dfrac{10}{\sqrt{10T-2}}, \qquad G(\mathrm{j}\omega_{x}) = -\dfrac{5T-1}{2} \]

其中，\(\omega_{x}\) 为 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与实轴交点处的频率。系统的概略开环幅相特性曲线如图5-124(b)所示。

因为 \(\upsilon=1\)，在幅相特性曲线上 \(\omega=0_{+}\) 的对应点起逆时针补作 \(90°\) 且半径为无穷大的虚圆弧。由于 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点数 \(P=0\)，由奈奎斯特判据可知，若使闭环系统稳定，则 \(N=0\)，即系统的奈奎斯特曲线不包围 \((-1,\mathrm{j}0)\)点。

由奈奎斯特曲线可知，若使系统闭环稳定，则要求 \(-\dfrac{5T-1}{2}>-1\)，即

\[ T<0.6 \]

综上可知，若使系统闭环稳定，\(T\) 的取值范围为 \(0<T<0.6\)。

MATLAB验证：取 \(T=0.1\) 和 \(T=0.6\)，作闭环系统单位阶跃响应，如图5-125所示。

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