\[
-\frac{1.6T^2 e^{2Ts}(2e^{5Ts}-6.4e^{4Ts}+7.84e^{3Ts}-4.64e^{2Ts}+1.36e^{Ts}-0.16)}{(e^{2Ts}-0.8e^{Ts}+0.2)^4}
\]
\[
+\frac{T^2 e^{Ts}(-2e^{2Ts}+4e^{Ts}-1.2)}{(e^{2Ts}-0.8e^{Ts}+0.2)^2}\Bigg\}_{s=0}
\]
\[
=5T^2=0.2
\]
又 \(\dot{r}(t)=1+t,\ddot{r}(t)=1\)，所求之误差级数为
\[
e(nT)=C_0 r(nT)+C_1\dot{r}(nT)+\frac{1}{2!}C_2\ddot{r}(nT)
\]
\[
=\frac{1}{2!}C_2\ddot{r}(nT)=\frac{1}{2}\times0.2\times1=0.1
\]
所以
\[
e(\infty)=0.1
\]
（2）系统开环脉冲传递函数为
\[
G(z)=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=(1-z^{-1})\left[\frac{Tz}{(z-1)^2}-\frac{(1-e^{-T})z}{(z-1)(z-e^{-T})}\right]
\]
令 \(T=0.1\)，代入上式化简后得
\[
G(z)=\frac{0.005(z+0.9)}{(z-1)(z-0.905)}
\]
显然，系统为Ⅰ型系统，因此
位置误差系数 $$ K_p=\lim_{z\to1}[1+G(z)]=\lim_{z\to1}\left[1+\frac{0.005(z+0.9)}{(z-1)(z-0.905)}\right]=\infty $$
速度误差系数 $$ K_v=\lim_{z\to1}(z-1)G(z)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{0.005(z+0.9)}{(z-1)(z-0.905)}=0.1 $$
故系统的稳态误差为 $$ e(\infty)=\frac{1}{K_p}+\frac{T}{K_v}=\frac{0.1}{0.1}=1 $$
7-17 某系统中锁相环的结构图如图7-15所示。求系统的单位阶跃响应，并绘出曲线。为简化计算，设 \(K=1,T=\tau=1\)。
图7-15 锁相环结构图
解 开环脉冲传递函数为
\[
G_hG_0(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{1-e^{-sT}}{s^2(\tau s+1)}\right]=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{\tau}{s^2}-\frac{\tau^2}{s}+\frac{\tau^2}{s+\frac{1}{\tau}}\right]
\]
\[
=(1-z^{-1})\left[\frac{\tau Tz}{(z-1)^2}-\frac{\tau^2 z}{z-1}+\frac{\tau^2 z}{z-e^{-\frac{T}{\tau}}}\right]
\]
\[
=\frac{e^{-1}z+1-2e^{-1}}{(z-1)(z-e^{-1})}=\frac{0.3679z+0.2642}{z^2-1.3679z+0.3679}
\]
闭环脉冲传递函数为 $$ \Phi(z)=\frac{G_hG_0(z)}{1+G_hG_0(z)}=\frac{0.3679z+0.2642}{z^2-z+0.6321} $$
页码：389（原书页码）