显然,由于表中第一列元素的符号有两次改变,所以该系统在\(s\)右半平面有两个极点。因此,该系统不稳定。

然后,用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。

由特征方程可知\(n=3\),且\(a_0=1,a_1=20,a_2=9,a_3=200\)。若系统是稳定的,需要满足条件:① 特征方程的各项系数为正;② \(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3>0\)。

本系统\(a_i>0(i=0,1,2,3)\),但是\(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3=-20<0\),因此系统不稳定。

(3) 利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性,列出劳斯表如下所示:

显然,由于表中第一列元素的符号有两次改变,所以该系统在\(s\)右半平面有两个极点。因此,该系统不稳定。

然后,用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。

由特征方程可知\(n=4\),且\(a_0=3,a_1=10,a_2=5,a_3=1,a_4=2\)。若系统是稳定的,需要满足以下条件:① 特征方程的各项系数为正;② \(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3>0\);③ \(\Delta_2>a_1^2a_4/a_3\)。

本系统\(a_i>0(i=0,1,2,3,4)\),且\(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3=10\times5-3\times1=47>0\),但是\(a_1^2a_4/a_3=\dfrac{10^2\times2}{1}=200>\Delta_2\)。由于条件③不满足,因此系统不稳定。

MATLAB程序:exe302.m

den1=[1 20 9 100];　　den2=[1 20 9 200];　　den3=[3 10 5 1 2];

p1=roots(den1);　　　p2=roots(den2);　　　p3=roots(den3);

系统的特征根为:(1) \(p_1=-19.8,-0.1+j2.25,-0.1-j2.25\);

(2) \(p_2=-20.05,0.024+j3.16,0.024-j3.16\);

(3) \(p_3=-2.73,-0.88,0.14+j0.51,0.14-j0.51\)。

3-3 设单位反馈系统的开环传递函数分别为

(1) \(G(s)=\dfrac{K^*(s+1)}{s(s-1)(s+5)}\);　　(2) \(G(s)=\dfrac{K^*}{s(s-1)(s+5)}\)。

试确定使闭环系统稳定的开环增益\(K\)的数值范围(注意,\(K\neq K^*\))。

解 (1) 根据系统的开环传递函数可得闭环系统的特征方程为