从而可得该方程组的一般解。设一般解的形式为

其中 \(x_{r+1}, \cdots, x_n\) 是 \(n-r\) 个自由未知量，\(d_{ij}\) 可由 \(c_{ij}\) 确定，\(r = \mathrm{rank}(A)\)。

取自由未知量为下列 \(n-r\) 组特殊数值，令 \(x_{r+1}=1, x_{r+2}=x_{r+3}=\cdots=x_n=0\)，代入通解中，可得一个特解 \(\boldsymbol{\eta}_1=[x_1^{(1)}\ x_2^{(1)}\ \cdots\ x_r^{(1)}\ 1\ 0\ \cdots\ 0]^{\mathrm{T}}\)。再令 \(x_{r+2}=1, x_{r+1}=x_{r+3}=\cdots=x_n=0\)，又可得一个特解 \(\boldsymbol{\eta}_2=[x_1^{(2)}\ x_2^{(2)}\ \cdots\ x_r^{(2)}\ 0\ 1\ \cdots\ 0]^{\mathrm{T}}\)。照此进行下去，可得 \(\boldsymbol{\eta}_3, \boldsymbol{\eta}_4, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{n-r}\)。由于 \(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_n\) 的后 \(n-r\) 个向量线性无关，在其前面添加 \(r\) 个分量显然也线性无关，即 \(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{n-r}\) 线性无关。

设方程组的任意一个解为 \(\boldsymbol{\eta}_0=[k_1\ k_2\ \cdots\ k_r\ k_{r+1}\ \cdots\ k_n]\)，由解的性质可知 \(k_{r+1}\boldsymbol{\eta}_1+k_{r+2}\boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\eta}_{n-r}\) 仍是 \(Ax=0\) 的解。

写出它的后 \(n-r\) 个分量，即为 \(k_{r+1}, k_{r+2}, \cdots, k_n\) 与解向量 \(\boldsymbol{\eta}_0\) 的后 \(n-r\) 个分量完全相同，而解的后 \(n-r\) 个分量在一般解中正好是 \(n-r\) 个自由未知量位置。当自由未知量取定一组数值后，解是唯一确定的。因此

这说明具有 \(n-r\) 个线性独立解，且方程式的任意解都可以用其线性组合来表示，即 \(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{n-r}\) 是齐次方程组 \(Ax=0\) 的一个基础解系。

9-43 设 \(A\) 和 \(B\) 为同维的非奇异方阵，试证明：\(AB\) 的特征值必等同于 \(BA\) 的特征值。

证明 由于 \(A\) 和 \(B\) 为同维的非奇异方阵，容易验证

由于 \(\begin{bmatrix} I_n & -A \\ 0 & I_n \end{bmatrix}\) 可逆，可知 \(\begin{bmatrix} AB & 0 \\ B & 0 \end{bmatrix}\) 与 \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ B & BA \end{bmatrix}\) 相似，因此

即

\(\cdot\) 527 \(\cdot\)