MATLAB 程序：exe450.m

num1=[1 4];        den1=[1 1 0];      num2=[1];   den2=[1 4 16];
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2);
figure,             rlocus(num,den)    axis([-8 2 -4 4])

num1=[1 1.05];      den1=[1 1 0];      num2=[1];   den2=[1 4 16];
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2);
figure,             rlocus(num,den)    axis([-4 1 -5 5])

figure,             rlocus(num,den)    axis([-2 0 -1 1])

4-51 已知系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{(s+1)(s+4)(s+5)(s-0.1)}\)，若要求系统的闭环极点都为负实数，试确定 \(K^*\) 的范围。

解 系统的开环传递函数

① 根轨迹的分支和起点与终点：由于 \(n=4\)，\(m=0\)，\(n-m=4\)，故根轨迹有四条分支，其起点分别为 \(p_1=-1\)，\(p_2=-4\)，\(p_3=-5\)，\(p_4=0.1\)，其终点为无穷远处。

② 实轴上的根轨迹分布区：\([-5,-4]\)，\([-1,0.1]\)。

③ 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-1-4-5+0.1}{4}=-2.475\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{4},\pm\dfrac{3\pi}{4}\)。

④ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足

即

解得 \(d_1=-4.56\)，\(d_2=-2.49\)（舍去），\(d_3=-0.377\)

求得分离点的坐标为 \(d=-4.56\) 及 \(d=-0.377\)。

根据以上几点，可以画出概略根轨迹图，如图 4-164 所示。

图 4-164 \(1+\dfrac{K^*}{(s+1)(s+4)(s+5)(s-0.1)}=0\) 概略根轨迹图

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