3-63 已知系统的单位阶跃响应 \(c(t)=1+\mathrm{e}^{-0.1t}+2\mathrm{e}^{-0.52t}\sin(2t+30°)\)，试确定系统的极点。
解 由于单位阶跃响应
\[c(t)=1+\mathrm{e}^{-0.1t}+2\mathrm{e}^{-0.52t}\sin(2t+30°)\]
\[=1+\mathrm{e}^{-0.1t}+2\mathrm{e}^{-0.52t}\cdot(\sin2t\cos30°+\cos2t\sin30°)\]
\[=1+\mathrm{e}^{-0.1t}+\sqrt{3}\mathrm{e}^{-0.52t}\cdot\sin2t+\mathrm{e}^{-0.52t}\cos2t\]
则
\[C(s)=\mathscr{L}[c(t)]=\frac{1}{s}+\frac{1}{s+0.1}+\frac{2\sqrt{3}}{(s+0.52)^2+4}+\frac{s+0.52}{(s+0.52)^2+4}\]
则系统闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=1+\frac{s}{s+0.1}+\frac{2\sqrt{3}s}{(s+0.52)^2+4}+\frac{s(s+0.52)}{(s+0.52)^2+4}\]
即闭环系统的特征方程为
\[D(s)=(s+0.1)[(s+0.52)^2+4]=0\]
故系统的极点为
\[s_1=-0.1,\qquad s_{2,3}=-0.52\pm \mathrm{j}2\]
又解 由单位阶跃响应的模态可直接得系统的极点为
\[s_1=-0.1,\qquad s_{2,3}=-0.52\pm \mathrm{j}2\]
3-64 一单位反馈系统，其开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{100}{s(0.1s+1)}\)，输入信号 \(r(t)=3.5\sin2.8t\)，试求系统的稳态误差。
解 由系统的开环传递函数可得系统的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{100}{0.1s^2+s+100}\]
则系统的误差传递函数为
\[\Phi_e(s)=1-\Phi(s)=\frac{0.1s^2+s}{0.1s^2+s+100}\]
由于输入信号为 \(r(t)=3.5\sin2.8t\)，则
\[|\Phi_e(\mathrm{j}2.8)|=\left|\frac{-0.1\omega^2+\mathrm{j}\omega}{100-0.1\omega^2+\mathrm{j}\omega}\right|_{\omega=2.8}=\frac{\sqrt{(0.1\times2.8^2)^2+2.8^2}}{\sqrt{(100-0.1\times2.8^2)^2+2.8^2}}=0.03\]
\[\angle[\Phi_e(\mathrm{j}2.8)]=\angle\left(\frac{-0.1\omega^2+\mathrm{j}\omega}{100-0.1\omega^2+\mathrm{j}\omega}\right)_{\omega=2.8}=\angle\left(\frac{-0.784+\mathrm{j}2.8}{99.216+\mathrm{j}2.8}\right)=-2.3°\]
故系统的稳态误差为 \(e_{ss}(\infty)=0.105\sin(2.8t-2.3°)\)。
仿真结果如图3-75和图3-76所示。
MATLAB程序：exe364.m
numg=[100], deng=[0.1 1 0]; numh=[1]; denh=[1];
[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);
t=0:0.005:3.5; u=3.5*sin(2.8*t); figure, lsim(num,den,u,t); grid
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