各位同学大家好，欢迎来到考试点，我们在前面的各讲当中已经系统的复习了。这本教材前八章的内容，那么在这本教材的前八章，当前八章当中呢？介绍的主要都是经典控制理论的内容。从第九章开始，第九，第十章呢，介绍的是现代控制理论的内容。在现代控制理论的内容当中呢啊，我们重点考察，如果在考研的试卷当中。出现了现代控制理论这部分的考题，它的考点呢，

都是落在第九章的，第十章的动态规划这部分的啊，内容呢，在考研的试卷当中是不出现的。而且在考察了现代控制理论的这些院校的试题当中呢，指定的教材都不是胡寿松的这一本现代控制。这本教材里面的现代控制理论，部分的内容。也就是说，如果你所报考的院校需要在自动控制原理当中考察现代控制理论，这部分的内容，那么。所对应的教材不是以胡寿松的这本教材作为针对对象的，我们在这里呢，虽然对这部分的内容加以复习了，

但是还是应该根据。各个院校，它指定的教材呢？来具体情况具体对待啊，有些地方呢，它的侧重点是不一样的。下边我们来看一下第九章，第九章呢？我们介绍的是线性系统的状态，空间分析与综合。注意。我们在前八章的复习当中介绍的都是关于单输入单输出。单输入单输出这样的线性连续系统或者是线性离散系统，它的输入输出之间的关系来分析系统的性能。然后呢啊，

对系统进行矫正，也就是进行设计，那么第九章我们针对的对象和前面八章针对的对象呢，是有区别的。在第九章现代控制理论部分，我们针对的对象是多输入，多输出的系统。那么，对于多输入，多输出的系统而言，我们在前边啊，这种建立数学模型像微分方程，然后分析系统性能这样的方法呢，就不太适用了。针对这样的具体情况，

我们在第九章针对多输入，多输出的系统，但是仍然是线性系统进行了。讨论，并且这个讨论呢，落在了两个方面，一个是分析，一个是综合。分析和综合的概念，大家已经不陌生了，所谓分析，我们是指先建立这个系统的模型。建立这个系统的模型，如果针对单输入，单输出的系统，

它的模型时域当中呢，是微分方程。频域当中是频率特性，辅频域当中呢，对应的是传递函数。在这三种数学模型的基础上。建立起来的基础上，我们再来分析系统的性能，那么系统的性能呢？主要体现在两个大的方面。一个是它的稳态性能，还有一个是它的暂态性能。其中，稳态性能呢？我们又重点考察。

首先，它稳不稳？也就是说，它的稳定性是不是具备了？在具备了稳定的基础上，我们再来分析它的稳态误差，这是稳态方面的考量。而在展态这个方面呢，我们主要考虑的也是两个问题，第一，展态过程，它的快速性。第二，在展态过程当中，它运动的相对平稳性啊，

相对平稳性。基于这样的几个方面，我们对于啊单输入单输出的线性系统进行了分析，进行了分析。那么，在前面单输入单输出的系统讨论过程当中，建立了模型，分析了性能之后。我们很少涉及到它的综合，所谓综合，实际上就是设计，我们只是在第六章，第六章线性系统的矫正这个部分呢。讨论到了关于控制器的设计。关于控制器的设计，

那么这部分内容呢？是在我们前八章前八章当中，唯一涉及到了的系统设计。或者说系统的综合而第九章第九章我们从题目来看一下，第九章我们讨论的是线性系统。它的状态，空间分析和综合，也就是说对于多输入多输出这样的系统。我们呢，一样相先要来建立它的模型，只不过对于多输入多输出的系统而言。它的数学模型和单输入单输出的系统有所区别，它的模型呢？我们把它叫做状态空间。建立起它的状态，

空间表达式，然后在建立完模型以后，我们对系统呢要进行分析。进行分析，这个分析它包括了这样的几个方面，第一个展态过程的运动分析。展开过程的运动分析第二。它的能控性分析啊，它的能控性分析以及它的能观性分析啊，能观性分析。注意现在能控和能关，这是在前八章当中，我们没有接触到的，那么这两个性质是什么呢？我们待会会复习。

此外，还有和单输入，单输出的系统一样，我们还要考虑这样的一个系统，它的稳定性的分析。那么，对于单输入，单输出的现金系统，我们在分析它稳定性的时候，采用的是是一种有借输入。有借输出这样的系统，我们认为它是稳定的，而多输入多输出的系统，它的稳定性。又有又是如何界定的和单输入单输出的系统，

它的稳定性定义是不是一样呢？待会儿我们也会见到。这是在建立完模型以后，我们对系统的性能进行分析，分析的目的是为了改善系统的性能。那么，我们还在第九章当中涉及到了啊，多输入多输出系统或者是。基于状态，空间模型的这样的一种系统，它的一个综合，那么这个综合部分主要包括了这样的几个方面。第一几点配置啊？几点配置？这是一个方面，

第二我们呢？怎么样能够设计一个使系统？能够稳定的控制器啊，稳定化的控制器。这是设计的第二个方面，第三个方面，我们还要设计。恰当的观测器使系统呢，能够做到全维或者降维的可观。再有我们怎么样涉及到一个二次型的最优的？控制器啊，二次型最优控制器，这是我们在这一章所要讨论的重点内容。针对我们刚才讲的思路，先建立状态空间这种数学模型，

然后分析系统的各项性能。然后在分析的基础上，对系统呢进行综合，包括了啊这样的几个方面。针对这样的一个思路，我们来看一下第第九章，它的主要知识点都有哪些？首先建立的模型是一种状态空间模型，那么状态空间该如何描述？在这里。在这里我们需要呢，首先了解一些基本概念，比如说什么叫做状态，什么叫做状态变量，什么叫做状态向量。

以及状态空间模型是如何构成的，其中呢，它包括有状态方程，输出方程。还有动态方程啊，动态方程那么针对的对象是哪些啊？线性的定长系统。对于多输入，多输出的系统而言，如何来确定它是线性定长的？而建立这种状态空间模型，它的依据一个是它的物理机理了，这和单输入单输出的系统是一样的。然后呢？如果知道时域当中的微分方程，

那么对于多输入多输出的系统而言，这个微分方程有可能是一个微分方程组。还有离散系统的话，对应的差分方程以及如果知道了所对应的传递函数。或者是脉冲传递函数该如何建立它的动态方程？当状态方程建立起来以后，我们怎么样用状态变量图把它绘制出来？以及传递函数矩阵，它的实现传递函数矩阵，它的实现，那么在这里如果会考察的话，这个地方是经常容易考察到的。传递函数的矩阵，传递函数矩阵的。实现那传递函数矩阵以及它的实现，

再有传递函数矩阵，它的解偶问题，解偶问题以及。我们针对的对象这样的线性定长连续系统，它所对应的其次非其次的动态方程。它的求解问题，那么在这个求解的过程当中，要注意有一个非常重要的概念，叫做状态转移矩阵。什么叫做状态转移矩阵呢啊？我们后面会讲到那么在这里，我们可以这样认为所谓的系统运动，实际上呢，就是从一个状态移动到了另外一个状态。那么，

在这种状态的变换之间是靠什么来实现的呢？啊，我们可以借助于状态转移矩阵的概念。状态转移矩阵该如何求？取求状态转移矩阵呢？通常有四种方法，第一种密集数法，密集数法，第二种拉时变换法。除此之外，我们还可以呢，采用直接计算法。以及线性变换法。按线性变换法来求，只不过在这里边，

如果求状态转移矩阵常用的方法是密集除法和拉式变换法。还有状态转移矩阵，它的一些性质，它的一些性质以及其次非其次状态方程和输出响应的求解。如何用积分法以及拉式变换法来求解？再有，如果现在我们针对的对象不是连续的，而是离散的。那么，所对应的方程就是线性定残定长离散系统，它的动态方程。对于这样的方程，我们又该如何求解？肯定刚才提到的拉式变换法是不能用了，我们可以用专门针对离散信号的z变换。

从而对应的z变换来求取以及。如果现在我们拿到了一个线性的连续系统，如果想要把这个线性连续系统转化成一个对应的离散系统，这个离散化的过程是如何实现的？这是在建立一个多输入，多输出的系统，它的数学模型状态，空间方程，这个时候呢，我们需要注意的问题。而在模型建立起来以后，我们要对系统的性能来进行分析了，那么在对系统性能进行分析的过程当中呢？我们重点针对的啊，是这样的几个性能。

第一个，它的运动分析运动过程性能的分析，再有能控性能观性的分析以及稳定性的分析。我们呢，首先要对能控性，能关性来进行分析啊，来进行分析。我们说了所谓的状态，空间模型，它实际上呢和？我们对于前八章讨论的各种数学模型，它的区别在于多了状态，这样的一个概念。状态，空间模型是这样描述的，

我们认为有一个系统，它具备了x这样的状态。这个时候，它的输入u输出y以及它的状态x它们之间的关系就是我们的状态空间模型。状态，空间模型在状态，空间，模型当中又包括了输出方程和输和状态方程。其中呢，状态方程反映的。状态方程，它反映的呢是这个系统，它的控制输入对于状态，它的影响。状态方程反映的是系统的控制输入，

对于状态的影响，而输出方程。输出方程，它则反映的是控制输入以及状态以及状态。它呢，对于输出的影响，或者说输出对于控制输入以及状态的一种依赖啊，一种依赖。那么，状态方程我们可以写作，这样的形式哎x的一阶导等于ax。加上bu来现在这个状态发生的改变是由谁来决定的呢？是由状态和输入这样的一个方程，我们把它叫做状态方程。而输出呢，

等于cx+1个du，也就是说，输出对于。状态和输入它的一种依赖，所对应的方程，我们把它叫做输出方程。这样的两个方程合在一起，构成了我们的状态，空间模型，如果我们希望系统按照期望的规律来运行。那么这个时候我们呢就开始考虑能不能通过恰当的外部输入来实现啊？能不能通过恰当的外部输入来实现？如果可以，我们就开始考虑怎么样，我们能够设计一个控制器，

设计一个控制器。如果我们能够找到一个控制器，使系统的状态呢？按照它的控制输入发生相应的改变。那么，我们认为这个系统它具备了可控性啊，可控性另外一个方面，我们说了在状态空间模型里边所对应的输出方程，反映的是输出。对于输入以及所对应状态的一种依赖，那么状态变量它未必。可以从外部来进行观测，那么怎么样从输入输出的数据当中，我们能够确定出来系统的状态？如果能够从外部观测，

能够从输入输出数据当中确定系统的状态，我们认为这个系统它具备了可观性。可观性好，这是啊，系统分析两个非常重要的方面，关于它的能可控性和可观性的分析。在这里，我们要掌握这样的一些问题，这也是在这一章的内容当中啊，考察的时候经常会遇到的。在了解了可控和可观的概念以后，我们需要还要了解一个问题，怎么样判定这个系统它具有可控性？那么，这种可控性又体现在了两个方面，

第一，状态是否可控。第二，输出是否可控。那么，顾名思义，状态和输出它的可控性，意味着要么状态，要么输出，受到了控制，输入的制约。那么判定的依据主要是质判据啊，质判据以及可观性的概念。以及判定可观性的质判句，那质判句这样的几个方面是在考察的时候经常会遇到的。

除此之外，还有一些像规范性的判据以及可控可观与传递函数或者传递函数矩阵，它们之间的关系。还有系统的离散化，系统的离散化会对系统的可控可观产生的影响，产生的影响，这个呢，我们一会儿都会详细的讲。那讲解。这是对于系统分析它的一个方面，那么在分析的过程当中，我们可能呢，会做一些线性变换。比如说我们可以利用对偶原理，在可控和可观的这样的一个标准型之间呢来做转换。

再比如说我们可以呢，对系统做一些非歧义的线性变换，线性变换的前后这个系统，它的可控性，可观性，稳定性等。都不会发生改变啊，不会发生改变，还有拿到了一个动态方程，以后如果这个状态空间描述这个状态空间方程。它不够具备规范的标准形式，怎么样对它进行可控性或者可观性结构它的分解啊分解？这是在分析的时候，我们需要对数学模型做的一个转换。那么，

分析的目的是为了对系统来进行设计，也就是综合在系统的综合过程当中呢？我们需要注意这样的几个问题。第一，第一。我们需要。附加一定的反馈结构，利用这个反馈结构来对系统的性能进行调节，那么在常见的这样的一个反馈结构当中。又可以分为状态反馈和输出反馈啊，输出反馈这分别指的是反馈是到了系统的输入端，或者是到了系统状态的微分端。状态的微分端。那么，增加了反馈以后会对系统的性能产生哪些影响？

几点该如何配置？配置的时候有什么样的一些条件啊，其中在反馈对系统的性能的影响，这里边我们要注意这样的几点。我们通过通过附加了状态反馈或者输出反馈，它可以改变系统的动态特性。改变系统的动态特性，但是呢，它不改变系统的能控性，也不改变系统的能关性，那能关性。而在几点配置这个地方，几点它的配置影响到什么呢？影响到系统的稳定性啊，这一点配置的时候要注意。

对于单输入，单输出的系统，它的几点该如何配置？如果通过我们这样的一个反馈的方式。状态反馈的方式矫正还不能够达到期望的指标，那么这个时候我们还可以考虑按来增加一些状态观测器。常见的状态观测器呢，有两种全维的和降维的，那么这两种观测器分别指的是什么？又该如何设计？如何设计这个地方呢？也要注意。那也要注意，而在这里我们还要提到一个分离定理，分离定理，

所谓的分离定理是指什么呢？一个系统，它几点的配置几点的配置并几点的配置，这个时候在对综合的时候，这个几点配置单独设计。所产生的几点通过几点配置单独设计，所产生的几点以及通过观测器通过观测器单独设计，所产生的几点？这两部分合在一起，构成了整个系统，它配置或者说综合以后的结果。也就是说，我们在对系统进行设计的时候，可以分为三步走第一步。我们先来设计状态反馈观测器。

状态反馈控制器。通过对于状态反馈控制器的设计，在一定程度上配置了系统的几点，配置了系统的几点。如果在这个基础上，系统的综合还不能够达到期望的要求，那么这个时候我们哎还要考虑如果。状态不可以直接可观。不可直接观测。我们还要设计。观测器设计观测器，那么这种观测器呢？可以是全维的，可以是降维的。现在。

我们把利用状态反馈。和观测器争议矩阵。也就是说，前面两步设计以后的结果，综合起来的结果呢，作为系统的控制器。完成对系统的综合设计，那完成对系统的综合设计，这是我们分析以后建模以后分析完了如何来对系统进行设计。那么，在分析这个里面呢？除了可控性，可观性的分析之外，还有一个非常重要的方面。稳定性的分析，

稳定性的分析。那么，对于多输入，多输出的系统而言，它的稳定性分析和单输入，单输出的系统，也就是说以状态，空间，方程来作为模型。讨论系统的稳定性和以我们前面八章当中提到的各种数学模型来讨论系统的稳定性呢，它的方式是不一样的。在这里有了一个关于里亚普诺夫稳定性的概念，那么这种里亚普诺夫稳定它的实质是什么呢？它是从能量变换的角度来考虑，系统是不是稳定的啊？

从能量变换的角度。那么什么意思呢？他认为，如果存在一个能量函数。如果存在一个能量函数，那么这个能量函数它沿着系统。所对应的轨线沿着系统所对应的轨线，假如说这个能量函数是在衰减。我们认为，在这个过程当中，能量是在逐级递减的，能量递减以后，最终当能量消耗完了，运动就不会再维持了。那么，

这个时候呢，系统就可以认为它是稳定性。是稳定的，这是里亚普诺夫，他对于稳定性这样的一种理解。那么，里亚普诺夫稳定性的概念。在讨论里，亚普诺夫稳定的时候，我们必须要做三个问题，第一，我们要找一个平衡点。平衡点什么样的点叫做平衡点呢？如果我们认为所有状态的导数都为零。那么这个时候它不产生运动所对应的点，

就叫做平衡点，找到平衡点以后。借助于能量的观点，找一个能量函数，找一个能量函数。来分析系统的稳定性，而这个能量函数我们就把它叫做里亚普诺夫函数。里亚普诺夫函数。对于这样的一个里亚普诺夫函数，我们要讨论在系统运动的轨线上面这个能量函数究竟是增加的还是减小的。随着时间。那么这个时候我们就要判定判定当t趋近于某个值的时候，它究竟这个符号函数的符号所对应的是正？还是负而要判定它的符号，也就是说对这个能量函数来定号的话，

我们又需要呢啊，一个二次型函数，二次型函数。来作为定号的依据啊，作为定号的依据，那么我们可以认为如果这个能量函数本身是镇定的。而它的时间导数是复定的，时间导数是复定的，意味着这个能量函数随着时间的增大是在逐渐的减小，那么这样的话，系统就是稳定的了。这是关于里亚普诺夫函数或者说里亚普诺夫对稳定性的一种界定，而要判定里亚普诺夫稳定，我们呢，又有两个判据，

两个判据。第一判句和第二判句，其中第二判句在线性定长系统的稳定性分析当中，经常会考察啊，经常会考察。在这里还有一个啊，我们在前面提到的有借输入，有借输出，有借输入有借状态，这种稳定性又是如何来定义的，以及如何判定？这是我们在第九章所要接触到的一些知识结构啊，第九章的知识结构下面呢，就针对这样的一些知识结构，我们对一些重要的知识点呢加以回顾啊。

加以回顾呃，我们说了。对于第九章，我们提到了一种新的数学模型，叫做状态空间。那么，在状态空间这个里边呢？有一些基本概念。在选择填空题当中呢，有可能会接触到啊，比如说什么叫做状态，所谓状态系统在食欲当中的行为和运动信息的集合。那么，由状态构成了状态变量，什么叫做状态变量呢？

能够确定系统状态的一组独立。独立的变量，所谓的独立，是指它的数目最小，数目最小，也就是说，借助于这样的一组状态，我就完全可以描述系统的性能了。多了是浪费，少了呢就不够这样的一组变量，我们认为它是独立的变量。而对于一个系统而言，在建立它的状态，空间描述的时候，我们选择的状态。

状态变量可以是不同的啊，可以是不同的，比如说在lc电路里边，我们可以选择电容两端的电压来作为一个状态。也可以选择电感上的电流来作为状态，选择不同的状态的时候，所对应的状态变量呢，也是有所区别的。有了状态变量的概念以后n个状态变量作为基底所组成的N维空间，我们把它叫做状态向量啊，状态向量。描述系统状态变量和输入变量之间关系的一些微分连续系统是微分离散系统，是差分。这样的微分或者差分方程组，我们把它叫做系统的状态方程啊，

状态方程。在状态方程里边。状态方程状态空间描述里边除了状态方程之外，还有一个叫做输出方程，输出方程呢，它反映的是输出变量与输入变量。还有呢，包括状态，它们之间的一个啊，函数方程啊，函数方程状态方程和输出方程。集合起来就构成了状态，空间表达式也叫做动态方程。所谓的线性系统，是指。

状态空间表达式，也就是说不光是状态方程。而且它的输出方程如果都是线性的方程，那么所形成的状态，空间表达式。就是线性的，那就是线性的，由此对应的系统也叫做线性系统啊，线性系统，而在刚才的状态，空间表达式当中。如果这几个矩阵。ABC TD。它都是与时间变量无关的，那么所对应的系数矩阵如果都是常数。

所对应的系统叫做线性定长系统，如果状态空间表达式，我们已经建立起来了，对应状态空间表达式的系统结构图，我们把它叫做状态变量图。状态变量图。想要建立一个线性定长系统的状态，空间表达式，我们要注意这样的几个问题，第一。在这个系统的选用的状态变量当中，这些状态变量必须是独立的。必须是独立的啊，状态变量的个数个数是唯一的，也就是说你可以换状态变量。

但是构成这个状态，变量组的个数，它是唯一的啊NG系统，它的状态变量只能是n个，不可能是n- 1，也不可能是n+1。状态变量的选取不具备唯一性，那不具备唯一性，这是在建立状态空间表达式的时候，我们需要注意的问题。而如何来建立这个状态，空间表达式呢？我们可以根据系统运动所遵循的一些物理定理以及时域当中的数学模型，微分差分方程。传递函数方框图，

信号流图等等，来建立在我们的电网络当中状态，我们选择的往往是电容，电压或者电感，电流。如果是一个运动系统，我们选择的状态可以是位移速度或者加速度，那么在微分方程里边，我们选择的状态变量往往是积分变量或者是微分变量啊，微分变量。你要注意一点，要注意一点1s它，对应的是一种积分运算而，s呢对，应的是一种。

微分预算啊，微分预算。根据状态矩阵，它的形式和特点，也就是状态空间表达式当中，这个a这个a。状态方程当中的a它的形式和特点单输入单输出的系统，它的状态方程呢，往往有三种表达形式。一种叫做可控标准型，还有可观标准型，约当标准型或者也叫做对角标准型啊，对角标准型。这几种标准型，我们分别来看一下它的形式是什么样的？

来首先，我们来看一下，如果现在我们拿到了一个系统，以后单输入单输出的它的状态啊，它的传递函数，如果我们可以写成这样的形式。分子分母多项式的比值，再加一个常数，也就是说一个常数和一个有理真分式。那么这个时候所对应的可控标准型，它的结构呢？是这样的，注意现在在这里对角一出现，从第二列开始。然后所对应的b是000啊，

末位是一而在状态矩阵当中，它是按照传递函数。所对应的分母多项式，也就是传递函数的特征。多项式特征，多项式从右到左从常数项开始取相反数，这样取值的。而所对应的啊，输出方程当中，它的c和DC和d是如何取值的？我们把满足这种形式的啊，这样的一种状态空间描述呢，叫做可控标准。再来看第二种，第二种，

第二种描述，我们对比一下，第一种描述，对比一下，第一种描述。这里的在可第二种也叫能控二型或者可观标准型当中，它的b是贝塔一。贝塔从贝塔零到贝塔n- 1，对应的是我们传递函数有理真分式部分，它的一个分子多项式。它的系数啊，它的系数和能控一型能控一型当中输出方程当中的c是一致的啊c是一致的。而这个a两种表达形式当中的a，我们来观察一下那两种表达形式当中的这个。状状态矩阵a，

它们之间又有什么关系呢？能扣二型一在这这个斜对角，而能扣一型一在这个斜对角。能控二型，能控二型啊，它的最后一列一行是这样的，能控一型是这样的。也就是说，如果我们把能控一型的状态矩阵做一个转置，做一个转置，转置以后的结果就是我们的能控二型，它的状态矩阵。而我们的两种类型的b和c是相互交换的d，它是不变的啊d，它是不变的。

这是第二种啊，可观标准型，除此之外，如果如果我们发现现在呢，一个系统传递函数可以分解为。这样的形式，那么在这里lambda 1是一个重根三重根啊，lambda I呢？是其他的单根啊，其他的单根。如果可以写成这样的形式，那么这个时候所对应的约当标准型，它的结构呢是这样的。对应重根的部分，对应重根的部分，

这里斜对角是有一的存在，而单根的部分，这些单根呢，就出现在这个矩阵的对角线上，那对角线上。此外，别的元素都等于零啊，都等于零，而在这个地方b的位置b的位置来三重根。这个三第三行的系数是一，那么如果是四重根，就是第四行b的系数呢？等于一。上面呢，都是零其他的单根部分b的系数都是一而c。

它的选取就是由做完部分分式展开以后所对应的各项的待定系数来确定的啊来确定的。真是。我们所讨论的啊，单数单输出系统在已知它传递函数的情况下，所对应的三种标准形式。其中呢，尤其要关注一点，在它的可控标准型和可观标准型当中。由于a的转置BC的对称，我们认为这两种标准形式呢，它互为对偶关系。互为对偶关系，这有什么用呢？如果现在我们知道了系统的状态，空间描述它是一个可控标准型。

想要让你把它转化为可观标准型，这个时候你只需要啊，我们只需要把它的啊系数矩阵做一下调整，按照对偶原理做一下调整就可以了啊，就可以了。这是我们啊提到的。这个第九章啊呃，对于单输入单输出的系统啊，对于单输入单输出的系统，它该如何来建立它的状态空间描述以及常见的？三种基本形式，那常见的三种基本形式。此外。我们说了，在状态空间描述里边呢，

有一个非常重要的概念，叫做状态转移矩阵。所谓的状态转移矩阵，我们可以这样来理解，比如说现在呢，系统的状态，如果用x来描述的话。我们存在这样的一个运动轨线。这是t十时刻t1时刻。t2时刻那么在t0时刻的状态呢？是xt 0t1时刻是xt 1，怎么样？我们按照什么样的规律，系统的状态能够从xt 0转移到xt 1呢？它所遵循的这个规律，

我们就把它叫做状态转移矩阵。状态转移矩阵，它的求法有四种啊，状态转移矩阵，它的求法有四种。那么，在这里，我们最常见的呢？是这样的三种，第一种密集数法，那密集数法，我们把状态转移矩阵写成这样的密集数叠加的形式。那么这样的话，我们可以求得，也就是说，

在已知状态矩阵的情况下，利用这样的级数叠加，我们可以求得系统的状态转移矩阵。这是第一种方法，第二种方法我们可以采用拉式变换法，拉式变换法。对于si-a，它的一个逆矩阵来求一下啊拉式变换，求一下拉式变换。实际上是做了一个拉式反变，换了啊拉式反变换了。这个地方要注意，再有第三种，我们可以用凯莱哈密顿定理来求解状态转移矩阵。那么，

要注意，实际上我们在用凯莱哈密顿定理的时候，就是在求这个阿尔法MT它的一个表达式，那它的一个表达式。极速展开之后，各项的阿尔法MT啊，那么对于状态转移矩阵，它呢，是这样定义的。fit呢，等于e的ate的at那么这个时候按照状态转移矩阵的定义。这样的一个状态转移矩阵，它是有一些它自身的性质的，这个性质呢，在填空题或者选择题的考察里面呢，

我们也会见到。也会见到，比如说啊，当t=0时刻当t=0时刻，我们来看一下这个时候状态转移矩阵。它呢，管你的a是多少，它对应的是一个单位矩阵，单位矩阵而当。我们对于状态转移矩阵来求导，状态转移矩阵来求导，我们会发现，我们会发现。它的导数等于a倍的fit，实际上和我们前面的指数信号一样，

指数信号求完导以后是相同形式的指数，只不过呢，你看前面多了一个啊，像类似于系数这样的东西。那么，它也等于ftt×a那乘以a两个结果呢？是一样的，再有状态转移矩阵，它的一个状态的传递性，那状态的传递性。我们可以认为啊，现在我想从状态x0t0转移到xt 2怎么办呢？我先转移到xt 1，然后再转移到xt 2啊，这是它的第三个性质嗯，

再有再有，如果我们对状态转移矩阵来求逆的话。那么，它的逆应该是什么啊？是什么以及xtr和xte之间的关系？xtr和xte之间的关系？我们认为，如果从t1转移到t2，实际上只成了一个从t1到t2的转移矩阵。那么，同理，这个传递性啊，传递性的体现，以及如果对于fit求了啊kiss me。求了k次幂状态转移矩阵的k次幂，

那么代入状态转移矩阵的定义当中很简单啊，直接我们就有结果了。再有再有。如果AB=baab=BA，那么这个时候他们之间还会满足分配率啊，分配率，交换率。这是状态转移矩阵，它的一些性质。状态空间方程。我们如果建立起来了，状态空间表达式，那么在这里我们怎么样借助于转转移矩阵这样的一个概念来解释？线性方程的求解呢啊，解释线性方程的求解呢，

我们来看现在一个方程，我们拿到了以后。它不外乎两种可能，一个是其次的，一个是非其次的，而所谓的其次。那么，这个方程如果描述的是一个系统的话，其次意味着没有激励，意味着没有激励。因此这个时候我们可以认为系统它的运动就是一种从初始状态。初始状态进行的状态转移进行的状态转移，也就是说在没有激励作用下。我们系统的状态怎么由零时刻变为了t时刻？中间的转移用状态转移矩阵可以描述。

而非其次的状态方程，它对应的实际上是这样的一种东西，这个系统现在呢，有了激励，有了激励。那么，在激励作用下，又具备初始状态的话，它所对应的。状态改变就应该等于有初始状态所对应的，这部分的状态改变。叠加上由外加激励u，它所决定的状态改变，也就是说现在系统状态的改变。是有两个因素共同作用的，

一个是初始的状态，一个是外加的激励。而这是信息系统两个条件，两个条件初始状态和激励共同作用下状态的改变呢，可以叠加起来啊，可以叠加起来。我们存在呢，这样的一个关系啊，存在这样的一个关系呃，这是对于其次和非其次微分方程的求解。那么，除了可以直接套公式之外，我们还可以用拉式变换的方法。拉式变换的方法来求解，实际上道理呢是一样的啊，

道理是一样的。这是我们对于啊线性连续的定长系统，它的动态方程来进行求解。而如果现在拿到的系统不是线性连续的，而是线性离散的，线性离散的，那么线性离散的系统不能用微分方程来表述了，要用差分方程来表述。那么，它的结构我们来看一下差分方程，差分方程我们可以直接套公式，只不过在这个公式里边，哎，这里。现在呢，

它对应的啊，这样的一个转移矩阵出现了改变啊，转移矩阵出现了改变，不再是fit了，而是g的k次方，那g的k次方。然后呢，原先连续的话啊，其中由外加激励决定的部分是积分，对于离散系统不能积分了，我们只能是求。求和只能是求和，而拉式变换法，我们现在呢，对于离散系统也不能用了，

我们有一个类似的。z变换法啊z变换法。这是对于单输入，单输出的系统，它的传递函数已知的情况下，我们怎么样用状态空间法来进行分析？而如果现在我们拿到的是多输入多输出的系统，那么这个时候就不是传递函数了，而是传递函数矩阵。所谓的传递函数矩阵呢？它的定义和传递函数很相似，都是在零初始条件下。输出向量的拉时变换与输入向量的拉时变换之间的传递关系。我们把它叫做传递函数矩阵，传递矩阵，

注意传递函数描述的是单输入单输出。而传递函数矩阵呢，描述的是多输入多输出。这个传递函数矩阵在已知了系统的状态，空间表达式的时候呢，该如何计算这个公式？大家需要牢牢的记住它啊，牢牢的记住它。我们认为，如果存在一个给定的传递函数矩阵，能够找到一个系统，它的abcd这样的一个系数矩阵。所构成的状态空间能够满足这个式子，我们就认为这个系统是这个传递函数的一个实现啊，一个实现。

但是呢，这种实现的过程并不唯一，比如说比如说如果我们用可控标准型和对角标准型来实现相同的一个传递函数的话。那么这个时候，它所对应的系统结构是不一样的啊，系统它的结构是不一样的，实现的过程不唯一。如果阶数相等，我们把它叫做传递函数矩阵的啊，它的最小实线啊，最小实线。这是啊，我们在前面介绍的状态空间啊，表达式这个部分的知识点啊，状态空间表达式这样的一个知识点。

建立起来数学模型以后，我们要分析它的可控可观性了啊，可控可观性了，其中可控性是如何定义的呢？我们认为。对于这样的一个表达式而言，如果以它来作为状态方程的线性系统。在状态空间当中，所有的非零状态都可以在控制作用。ut的作用下。在有限时间，在有限时间t内，那有限时间t内转移到xt呢等于零。转移到xt=0，我们认为这个系统它的状态完全可控，

注意。状态完全可控，在有限的时间t内，我可以从一个非零状态转移到一个零状态，我们认为它叫做系统可控。系统可控，那么这种可控性呢？是系统运动的一个重要的衡量标准。它表明的是控制作用。对于状态变量，它的影响程度啊，控制作用，对于状态变量的影响程度。在了解了系统的状态，可控的概念以后，

我们来判定它是不是状态可控的时候。我们通常可以通过这样的几种方式来判断第一种方式也是最常用的方式制判句。在已知了状态空间。当中的状态方程以后。那么，这个时候AB它所形成的矩阵所形成的矩阵，如果满足。它们构成的矩阵的质就是系统的阶数n，那么这个时候我们认为我们认为这个系统它是可控的。而如果这是一个离散系统，如果这是一个离散系统，那么这个时候我们有xk=g的xk- 1，加上一个h倍的啊UK啊h倍的UK，那么这个时候呢，我们认为啊u的k- 1吧。

我们认为由g和h所构成的这样的一个行列式，如果它的质。和系统的接触相等，那么这个离散的线性定长系统，我们认为呢？它也是可控的。这是第一种利用质判句啊，质判句第二种，第二种我们可以考虑这样的一个啊。呃行列式由si-a，它的逆乘以b所构成的行列式，如果这个行列式的行向量。是线性无关的，这个时候系统也是可控的。第三种判定方式，

如果状态矩阵a，它是对角阵，是对角阵。并且对角元素互异，也就是说，在约当标准型当中，如果它的对角元素那些单根是互不相等。我们认为啊，在输入矩阵b没有全零行的情况下，系统呢也是可控的啊，也是可控的。这是判定系统是不是可控它的一个啊？判定的标准，那么系统的可控性，除了状态可控性之外，

还有一个方面叫做输出可控性。所谓的输出可控性呢？我们是这样来定义的，如果存在一个有限的时间区间。并且存在一个无约束的分段，连续控制函数，那么这个时候系统的输出能够由任意。的初始输出转移到任意的中态输出，我们认为这个时候系统它的输出是完全可控的。简称为输出可控，对于输出可控，它的判定呢？我们通常也采用制判句啊，也采用制判句。那么，

记住它这样的一个判定的标准，这是对于可控性它的理解以及可控性的判定。除此之外，我们还需要分析系统的可观性，可观性。那么，什么叫做系统的可观性呢？我们认为。对于一个系统而言，对于一个系统而言，如果存在了一个有限时间。对于所有的属于这个有限时间区间内的时刻而言，在给定的t0作用下。可以由输出yt唯一确定状态向量的初值。xt 0也就是说，

利用系统的输出，我们可以估算出来，系统的状态。我们认为这个系统是完全可观的，简称为系统可观，这种可观性它反映的是输出量对于状态的一种反应能力。而要判定一个系统，它是不是可观的，我们通常用到的判据仍然啊，是一个质判句啊，仍然是一个质判句。只不过呢，这个质判句它的构成它的构成，大家要注意啊，要注意对于离散系统而言，

对于离散系统而言，由于离散的表达式不一样啊g和c。g和c这个g和我们刚才这个a它的区别，大家也要注意，那也要注意，除了制判距之外，我们判定一个系统是不是可观，还可以通过这样的几种途径。第一，讨论一下这样的一个行列式，它的列向量注意可控的时候是类似一个行列式的行向量，而这里呢，是它的列向量要线性无关。再有，如果状态矩阵是对角阵，

并且对角元素是互异的，那么这个时候如果输出矩阵没有全零行。它也是可观的呃，再有如果出现了约当镇，这个约当镇当中呢，出现了重真重根特征，根出现了重根。那么，如果这些重根只对应了一个月单块儿，那月单块儿在C证当中对应互异特征值的列元素，它不全为零。并且约当块它的最前一列所对应的元素呢，也不全为零，这个时候系统它也是可观的啊，也是可观的。

呃单输出的系统，它的可观标准型是可以化为可控标准型的啊，可控标准型的也就是说单输出的系统，它既可以。啊化为可控标准型，也可以化为可观标准型，那么从我们刚才可控性可可观性的判定里边。实际上，我们又一次发现了在系统的可控性和可观性里面呢，它是完全对偶的啊，完全对偶的。在连续系统，如果做了离散化以后做了离散化以后离散化以后的可控性，可观性与原来系统的可控性，连续系统的可控性，

可观性呢？它不一定是一一对应的，也就是说，如果原来的连续系统，它是可控的或者可观的，所对应离散以后的离散系统未必是可控。或者可观的，这是和采样周期t，它的选择有着密切的关系。这是我们分析了如何建立一个系统，它的状态，空间，模型，并且借助于它的状态，空间，

模型呢来分析。它对应的可控性和可观性关于稳定性以及它的设计啊，也就是综合部分的内容呢，我们放到下一讲来进行复习。这一讲的内容呢，我们就复习到这里，谢谢大家，再见。