部分为一圆,圆心为\((1,\mathrm{j}0)\),半径为1.732。
4-17 已知反馈控制系统的开环传递函数为
\[G(s)H(s)=\frac{K^*}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)}, \quad K^*>0\]
但反馈极性未知,欲保证闭环系统稳定,试确定根轨迹增益\(K^*\)的范围。
解 若反馈极性为负时,使系统闭环稳定的\(K^*\)范围为\((a,b)\),而反馈极性为正时,使系统闭环稳定的\(K^*\)范围为\((c,d)\),则选择\(K^*\in(e,f)\),而\((e,f)\)为\((a,b)\)和\((c,d)\)的公共区间,即可保证系统闭环稳定。
(1) 反馈极性为负时:作常规根轨迹,系统开环有限极点为\(-1\pm\mathrm{j}2\)和\(-1\pm\mathrm{j}\),实轴上无根轨迹。
根轨迹有四条渐近线,且
\[\sigma_a=-1, \quad \varphi_a=45°,135°,225°,315°\]
根轨迹的起始角为
\[p_{1,2}=-1\pm\mathrm{j}2, \quad \theta_{p_1}=270°, \quad \theta_{p_2}=-270°\]
\[p_{3,4}=-1\pm\mathrm{j}, \quad \theta_{p_3}=90°, \quad \theta_{p_4}=-90°\]
由根轨迹的分离点方程
\[\left[\frac{2(s+1)}{s^2+2s+2}+\frac{2(s+1)}{s^2+2s+5}\right]\Bigg|_{s=d}=0\]
解得\(d_1=-1,d_{2,3}=-1\pm\mathrm{j}1.581\)。
由根轨迹方程得
\[K^*|_{s=d_1}=-4, \quad K^*|_{s=d_{2,3}}=2.25\]
故\(d_{2,3}\)为常规根轨迹的复分离点。
系统闭环特征方程为
\[D(s)=(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)+K^*\]
\[=s^4+4s^3+11s^2+14s+K^*+10=0\]
列劳斯表
\[
\begin{array}{c|cc}
s^4 & 1 & 11 & 10+K^* \\
s^3 & 4 & 14 & \\
s^2 & 7.5 & 10+K^* & \\
s^1 & \dfrac{65-4K^*}{7.5} & &
\end{array}
\]
当\(K^*=16.25\)时,劳斯表中\(s^1\)行的元素全为零。由辅助方程\(A(s)=7.5s^2+10+\dfrac{65}{4}=0\)
解得根轨迹与虚轴的交点\(s_{1,2}=\pm\mathrm{j}1.871\)。概略绘制系统反馈极性为负时的根轨迹如图4-47所示。
(2) 反馈极性为正时:作零度根轨迹,实轴上的根轨迹区间为\((-\infty,+\infty)\),根轨迹有四条渐近线,且\(\sigma_a=-1;\varphi_a=0°,90°,180°,270°\)。
根轨迹的起始角为
\[\theta_{p_1}=90°, \quad \theta_{p_2}=-90°, \quad \theta_{p_3}=270°, \quad \theta_{p_4}=-270°\]
根轨迹的分离点由前求得为\(d=-1\)。
系统闭环特征方程为
· 170 ·