(4) 求出系统的状态转移矩阵 \(\mathrm{e}^{At}\)。
图 9-15 系统结构图
解 (1) 画结构图。
系统结构图如图 9-15 所示。
(2) 判断可控性与可观测性。
因为
\[\mathrm{rank}[\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{Ab}]=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & -2\end{bmatrix}=2\]
\[\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{c}\\\boldsymbol{cA}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}=2\]
故系统可控且可观测。
(3) 求传递函数。
\[G(s)=\boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}\]
因为
\[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\begin{bmatrix}s & -1\\0 & s+2\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{s} & \dfrac{1}{s(s+2)}\\[2mm]0 & \dfrac{1}{s+2}\end{bmatrix}\]
所以
\[G(s)=\begin{bmatrix}2 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dfrac{1}{s} & \dfrac{1}{s(s+2)}\\[2mm]0 & \dfrac{1}{s+2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\dfrac{2}{s(s+2)}\]
(4) 确定 \(\mathrm{e}^{At}\)。
\[\mathrm{e}^{At}=\mathscr{L}^{-1}[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}]=\mathscr{L}^{-1}\begin{bmatrix}\dfrac{1}{s} & \dfrac{1}{s(s+2)}\\[2mm]0 & \dfrac{1}{s+2}\end{bmatrix}\]
\[=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2t})\\[2mm]0 & \mathrm{e}^{-2t}\end{bmatrix}\]
9-67 设二阶系统结构图如图 9-16 所示，试用状态空间描述及传递函数描述判断系统的可控性与可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。
图 9-16 二阶系统结构图
解 由结构图知
\[\dot{x}_2-x_2=y\]
\[\dot{x}_1+4x_1=-5u+5x_2\]
\[y=u-x_2+x_1\]
解1 状态空间描述
\[\begin{bmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 5\\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-5\\1\end{bmatrix}u\]
\[y=\begin{bmatrix}1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+u\]