因此系统的传递函数

9-50 试证明：若系统\((A,B,C)\)可控，则矩阵\([B \vdots A]\)必定满秩。

证明 采用反证法。设矩阵\([B \vdots A]\)非满秩，则必存在非零向量\(\boldsymbol{\alpha}\)，使得

即\(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}B=0,\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}A=0\)，则进一步可得到

由于\(\boldsymbol{\alpha}\)是非零向量，则\(\mathrm{rank}[B \vdots AB \vdots \cdots \vdots A^{n-1}B]<n\)，即系统不可控，与已知条件系统可控相矛盾，故矩阵\([B \vdots A]\)必定满秩。

9-51 试证明：\(n\)阶线性系统\((A,B,C)\)可控的充分必要条件是对于所有复数\(s\)，均有

证明 考虑到\([sI-A \vdots B]\)为多项式矩阵，在复数域上，除了\(A\)的特征值\(\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)\)以外，对所有\(s\)均有\(\det(sI-A)\neq 0\)，故\(\mathrm{rank}[sI-A \vdots B]=n\)等价为对于矩阵\(A\)的所有特征值\(\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)\)，均有\(\mathrm{rank}[\lambda_i I-A \vdots B]=n\)。

必要性：已知系统完全可控，则\(\mathrm{rank}[\lambda_i I-A \vdots B]=n\)成立。采用反证法。设对于某个\(\lambda_i\)有\(\mathrm{rank}[\lambda_i I-A \vdots B]<n\)，表明\([\lambda_i I-A \vdots B]\)行线性相关，因而必存在一个非零常数向量\(\boldsymbol{\alpha}\)，使得

成立。考虑到问题的一般性，可导出

进而可得

于是有

因为已知\(\boldsymbol{\alpha}\)为非零向量，所以欲使上式成立，必有\(\mathrm{rank}S<n\)，即系统不可控，显然与已知条件相矛盾。因此反设不成立，则\(\mathrm{rank}[\lambda_i I-A \vdots B]=n\)成立。必要性得证。

充分性：若\(\mathrm{rank}[\lambda_i I-A \vdots B]=n\)，则系统可控。采用反证法，利用上述相反的思路，即可证明充分性。

9-52 对于\(n\)阶线性系统\((A,B,C)\)，若\(\mathrm{rank}B=m\)，试证明：\((A,B,C)\)可控的充分必要条件是矩阵\(P_{cm}\)满秩，即\(\mathrm{rank}P_{cm}=\mathrm{rank}[B \vdots AB \vdots A^2B \vdots \cdots \vdots A^{n-m}B]=n\)。

证明 必要性：即证若系统可控，则矩阵\(P_{cm}\)满秩。

采用反证法：若系统可控，但矩阵\(P_{cm}\)不满秩，即

可知\(B\)与\(A^iB\)必定线性相关，则可控性矩阵

与系统可控相矛盾，因此每增加一个子块\(A^iB\)至少将会使可控性矩阵的秩增加1。另由于\(\mathrm{rank}B=m\)，故

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