\[G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]
反馈通道传递函数为
\[H(s)=K_1K_2\]
则
\[\Theta_0(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}N(s)=\frac{1}{(1/\omega_n^2)s^2+(2\zeta/\omega_n)s+1+K_1K_2}N(s)\]
由于\(e(t)\)在输入端定义,可得
\[E_n(s)=0-K_2\Theta_0(s)=-\frac{K_2}{(1/\omega_n^2)s^2+(2\zeta/\omega_n)s+1+K_1K_2}N(s)\]
用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[|e_{sn}(\infty)|=|\lim_{s\to0}sE_n(s)|=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{K_2}{(1/\omega_n^2)s^2+(2\zeta/\omega_n)s+1+K_1K_2}N(s)\]
\[=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{K_2}{(1/\omega_n^2)s^2+(2\zeta/\omega_n)s+1+K_1K_2}\cdot\frac{10}{s}=\frac{10K_2}{1+K_1K_2}\leqslant0.1\]
故确保稳态误差值\(|e_{sn}(\infty)|\leqslant0.1°\)的\(K_1\)值范围为\(K_1\geqslant100-1/K_2\)。
3-22 系统如图3-13所示。要求:(1)当\(a=0\)时,确定系统的阻尼比\(\zeta\)、自然频率\(\omega_n\)和单位斜坡函数输入时系统的稳态误差\(e_{ss}(\infty)\);(2)当\(\zeta=0.7\)时,确定参数\(a\)值及单位斜坡函数输入时系统的稳态误差\(e_{ss}(\infty)\);(3)在保证\(\zeta=0.7\)和\(e_{ss}(\infty)=0.25\)条件下,确定参数\(a\)及前向通道增益\(K\)。
图3-13 控制系统结构图
解 (1)当\(a=0\)时,根据图3-13可得系统的开环传递函数为
\[G(s)=\frac{8}{s(s+2)}=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
则系统的自然频率与阻尼比为
\[\omega_n=2\sqrt{2}=2.83,\qquad \zeta=\sqrt{2}/4=0.35\]
同时可知,系统是Ⅰ型系统,且\(K_v=4\),故在单位斜坡函数输入时系统的稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=1/K_v=0.25\]
(2)当\(a\neq0,\zeta=0.7\)时,根据图3-13可得系统的开环传递函数为
\[G(s)=\frac{8}{s(s+2+8a)}=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
则
\[\omega_n=2\sqrt{2}=2.83,\qquad a=\frac{\zeta\omega_n-1}{4}=0.245\]
由于系统是Ⅰ型系统,且\(K_v=8/(2+8a)=2.02\),故单位斜坡函数输入时系统的稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=1/K_v=0.495\]
(3)\(\zeta=0.7,e_{ss}(\infty)=0.25\)时,设前向通道增益为\(K\),则开环传递函数为
\[G(s)=\frac{K}{s(s+2+Ka)}=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]