态响应 \(\boldsymbol{x}(t)\);(3) 是否可用状态反馈将 \(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{bk}\) 的特征值配置到 \((-3,-3)\)? 若可以,求出状态反馈增益向量 \(\boldsymbol{k}\);(4) 说明系统的可观测性是否会由于引入(3)中的状态反馈而改变?
解 (1) 稳定性判别。
由题意有
\[\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1\\4 & -3\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}-1 & 1\end{bmatrix}\]
因 \(\lambda(\boldsymbol{A})=(1,-4)\),系统有 \(s\) 右半平面的极点,故系统不是渐近稳定的。
(2) 求状态响应。
状态转移矩阵为
\[e^{\boldsymbol{A}t}=\mathscr{L}^{-1}[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}]=\mathscr{L}^{-1}\begin{bmatrix}\dfrac{s+3}{(s-1)(s+4)} & \dfrac{1}{(s-1)(s+4)}\\[2mm] \dfrac{4}{(s-1)(s+4)} & \dfrac{s}{(s-1)(s+4)}\end{bmatrix}\]
\[=\mathscr{L}^{-1}\begin{bmatrix}\dfrac{0.8}{s-1}+\dfrac{0.2}{s+4} & \dfrac{0.2}{s-1}-\dfrac{0.2}{s+4}\\[2mm] \dfrac{0.8}{s-1}-\dfrac{0.8}{s+4} & \dfrac{0.2}{s-1}+\dfrac{0.8}{s+4}\end{bmatrix}\]
\[=\begin{bmatrix}0.8e^{t}+0.2e^{-4t} & 0.2e^{t}-0.2e^{-4t}\\0.8e^{t}-0.8e^{-4t} & 0.2e^{t}+0.8e^{-4t}\end{bmatrix}\]
因此状态响应为
\[\boldsymbol{x}(t)=e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0)+\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{b}u(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
\[=\begin{bmatrix}0.8e^{t}+0.2e^{-4t} & 0.2e^{t}-0.2e^{-4t}\\0.8e^{t}-0.8e^{-4t} & 0.2e^{t}+0.8e^{-4t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\]
\[+\int_{0}^{t}\begin{bmatrix}0.8e^{\tau}+0.2e^{-4\tau} & 0.2e^{\tau}-0.2e^{-4\tau}\\0.8e^{\tau}-0.8e^{-4\tau} & 0.2e^{\tau}+0.8e^{-4\tau}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\mathrm{d}\tau\]
\[=\begin{bmatrix}0.8e^{t}+0.45e^{-4t}-0.25\\0.8e^{t}-1.8e^{-4t}\end{bmatrix}\]
(3) 用极点配置求 \(\boldsymbol{k}\)。
因可控阵
\[\boldsymbol{S}=[\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{Ab}]=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & -3\end{bmatrix},\quad \mathrm{rank}\boldsymbol{S}=2\]
故系统完全可控,可任意配置极点。
令状态反馈增益向量 \(\boldsymbol{k}=[k_1\quad k_2]\),由
\[\boldsymbol{A}+\boldsymbol{bk}=\begin{bmatrix}0 & 1\\4 & -3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}[k_1\quad k_2]=\begin{bmatrix}0 & 1\\4+k_1 & -3+k_2\end{bmatrix}\]
得闭环特征多项式为
\[\det[\lambda\boldsymbol{I}-(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{bk})]=\det\begin{bmatrix}\lambda & -1\\-(4+k_1) & \lambda+3-k_2\end{bmatrix}\]