四. (10分) 已知单位反馈系统的开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{10}{s(2s+1)(4s+1)}\)

(1) 画出系统的开环乃奎斯特曲线，做出增补曲线；

(2) 用乃奎斯特稳定判据，判断闭环系统的稳定性：

解：① \(G(j\omega)=\dfrac{10}{j\omega(1+2j\omega)(1+4j\omega)}=\dfrac{10(1-2j\omega)(1-4j\omega)}{j\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)}\)

\(=\dfrac{10(1-6j\omega-8\omega^2)}{j\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)}=\dfrac{-10j(1-8\omega^2)-60\omega}{\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)}\)

（左侧竖排批注，字迹潦草，尽力辨认：）曲线与实轴的交点频率由 全虚部\(=0\) 求出（即 \(\mathrm{Im}[G(j\omega)]=0\)）：

\(1-8\omega^2=0 \quad \omega^2=\dfrac{1}{8} \quad \omega=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

代入实部：\(\dfrac{-60\omega}{\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)}=\dfrac{-60}{(1+\frac{1}{2})(1+2)}=-\dfrac{40}{3}=-13.3\)

（左侧批注，字迹模糊：）求得\(\omega\)代入……天之直：\(-90°\)　　纵坐标　……相序 \(-270°\)

（左侧批注：）由虚部……实部为\(0\)

\(Re[G(j\omega)]=0\)

（2）根\(\omega\)……　\(P=0\)　\(N=-1\)

\(Z=P+2N=0-2\times(-1)=2\neq0\)

系统不稳定

（图中：曲线与负实轴交于 \(-\dfrac{40}{3}\)，与 \(-1\)、\(0\) 点位置已标出，图右侧另有一处潦草小图批注，字迹无法辨认，未转写）

五、(13分) 某单位负反馈系统的开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{K(s+2)}{s(s+1)}\)

(1) 绘制 \(K>0\) 时的根轨迹；

(2) 在图上画出最小阻尼比对应的闭环极点；

(3) 计算阶跃响应有超调的 \(K\) 值范围；

解：① \(n=2\)，\(m=1\)

② \(P_1=0\)　\(P_2=-1\)　\(Z_1=-2\)

③ 实轴上 \((-\infty,-2)\)，\((-1,0)\) 存在根迹

④ 渐近线 \(\theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{1}=\pi\)

（图中根轨迹为一圆弧（分离点、会合点构成的圆），实轴标出 \(-2\)、\(-1\)、\(0\) 点，虚轴上标 \(j\)，图中标注点 \(A\)、\(B\)，以及箭头方向 \(K_1\)、\(K_2\)）

（页面底部有"北方工业大学……"字样水印/页脚，模糊不可辨，且当页内容在此截断，后续解答未见于本页）