\[G(s)=\dfrac{K_p}{s(s+1)(0.25s+1)}=\dfrac{4K_p}{s(s+1)(s+4)}\]
渐近线:\(\sigma_a=-\dfrac{5}{3}\);\(\varphi_a=\pm60°,180°\)
分离点:由\(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d+1}+\dfrac{1}{d+4}=0\)求得
\[d=-0.465\]
分离点处的根轨迹增益:\(4K_p=0.465\times0.535\times3.535=0.879\)
\[K_p=0.22\]
与虚轴交点:系统闭环特征方程为
\[s^3+5s^2+4s+4K_p=0\]
列劳斯表
| \(s^3\) | \(1\) | \(4\) |
| \(s^2\) | \(5\) | \(4K_p\) |
| \(s^1\) | \(\dfrac{20-4K_p}{5}\) | \(0\) |
| \(s^0\) | \(4K_p\) |
当\(K_p=5\)时,劳斯表有全零行,构造辅助方程
\[5s^2+4K_p=5s^2+20=0\]
求得
\[\omega=\pm2\]
\(K_p\)变化时,系统根轨迹图如图4-175所示。
(2) 确定比例系数的取值范围。
由图4-175可见,使系统阶跃响应为衰减振荡形式的\(K_p\)范围为
\[0.22<K_p<5\]
(3) 绘比例-微分控制时的根轨迹图。
\[G_p(s)=K_p(1+0.5s)\]
\[G(s)=\dfrac{K_p(1+0.5s)}{s(s+1)(0.25s+1)}=\dfrac{2K_p(s+2)}{s(s+1)(s+4)}\]
实轴上的根轨迹:\([-4,-2],[-1,0]\)
渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{-5+2}{3-1}=-1.5,\varphi_a=\pm90°\)
分离点:由\(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d+1}+\dfrac{1}{d+4}=\dfrac{1}{d+2}\)得
\[d=-0.55\]
绘出系统根轨迹图如图4-176所示。
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