9-10 已知系统状态矩阵 \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\2 & 3 & 0\end{bmatrix}\)，试用下列方法求系统的状态转移矩阵 \(\boldsymbol{\Phi}(t)\)：(1) 拉普拉斯变换法；(2) 线性变换法；(3) 凯莱-哈密顿定理（待定系数法）。
解 (1) 拉普拉斯变换法。因为
\[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\begin{bmatrix}s & -1 & 0\\0 & s & -1\\-2 & -3 & s\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{(s+1)^2(s-2)}\begin{bmatrix}s^2-3 & s & 1\\-2 & s^2 & s\\2s & -3s-2 & s^2\end{bmatrix}\]
所以
\[\boldsymbol{\Phi}(t)=\mathscr{L}^{-1}\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\right]\]
\[=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}(8-6t)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t} & (-2+3t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t} & -(1+3t)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t}\\-(2+6t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t} & (5-3t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t} & (-2+3t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t}\\(-4+6t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t} & (-8+3t)\mathrm{e}^{-t}+8\mathrm{e}^{2t} & (5-3t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t}\end{bmatrix}\]
(2) 线性变换法。由于 \(\boldsymbol{A}\) 为友矩阵，故系统特征多项式
\[f(\lambda)=\lambda^3-3\lambda-2=(\lambda+1)^2(\lambda-2)\]
得特征根为 \(\lambda_1=\lambda_2=-1,\lambda_3=2\)。因此
\[\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\\lambda_1 & 1 & \lambda_3\\\lambda_1^2 & 2\lambda_1 & \lambda_3^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\-1 & 1 & 2\\1 & -2 & 4\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{P}^{-1}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}8 & -2 & -1\\6 & 3 & -3\\1 & 2 & 1\end{bmatrix}\]
\[\boldsymbol{\Lambda}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix},\quad \mathrm{e}^{\boldsymbol{\Lambda}t}=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-t} & t\mathrm{e}^{-t} & 0\\0 & \mathrm{e}^{-t} & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{2t}\end{bmatrix}\]
从而可得系统的状态转移矩阵为
\[\boldsymbol{\Phi}(t)=\boldsymbol{P}\mathrm{e}^{\boldsymbol{\Lambda}t}\boldsymbol{P}^{-1}\]
\[=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}(8-6t)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t} & (-2+3t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t} & -(1+3t)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t}\\-(2+6t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t} & (5-3t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t} & (-2+3t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t}\\(-4+6t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t} & (-8+3t)\mathrm{e}^{-t}+8\mathrm{e}^{2t} & (5-3t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t}\end{bmatrix}\]
(3) 待定系数法。根据凯莱-哈密顿定理可知
\[\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k(t)\boldsymbol{A}^k=\alpha_0(t)\boldsymbol{I}+\alpha_1(t)\boldsymbol{A}+\alpha_2(t)\boldsymbol{A}^2\]
由于 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值为 \(\lambda_1=\lambda_2=-1,\lambda_3=2\)，因此
\[\begin{bmatrix}\alpha_0(t)\\\alpha_1(t)\\\alpha_2(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & \lambda_1 & \lambda_1^2\\0 & 1 & 2\lambda_1\\1 & \lambda_3 & \lambda_3^2\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{\lambda_1 t}\\t\mathrm{e}^{\lambda_1 t}\\\mathrm{e}^{\lambda_3 t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -2\\1 & 2 & 4\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{\lambda_1 t}\\t\mathrm{e}^{\lambda_1 t}\\\mathrm{e}^{\lambda_3 t}\end{bmatrix}\]
\[=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-t}+6t\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t}\\-2\mathrm{e}^{-t}+3t\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t}\\-\mathrm{e}^{-t}-3t\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t}\end{bmatrix}\]
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