试概略绘制系统的根轨迹图，并由此确定系统稳定时 \(K^*\) 的范围。
解 系统的开环传递函数
\[
G(s)H(s)=\frac{K^*(s^2+2s+4)}{s(s+4)(s+6)(s^2+1.4s+1)}=\frac{K^*(s+1\pm j1.732)}{s(s+4)(s+6)(s+0.7\pm j0.714)}
\]
① 实轴上的根轨迹分布区：\([-6,-\infty)\)，\([-4,0]\)。
② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{0-4-6-0.7-0.7+1+1}{3}=-\dfrac{9.4}{3}=-3.13\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{3},\pi\)。
③ 根轨迹的分离点坐标满足
\[
\frac{1}{d+p_1}+\frac{1}{d+p_2}+\frac{1}{d+p_3}+\frac{1}{d+p_4}+\frac{1}{d+p_5}=\frac{1}{d+z_1}+\frac{1}{d+z_2}
\]
经试凑可得 \(d=-2.36\)。
④ 根轨迹的起始角
\[
\theta_{p_4}=180^\circ+\varphi_{z_1p_4}+\varphi_{z_3p_4}-\theta_{p_1p_4}-\theta_{p_2p_4}-\theta_{p_3p_4}-\theta_{p_5p_4}
\]
\[
=180^\circ+[-\arctan(1.018/0.3)]+\arctan(2.446/0.3)-[90^\circ+\arctan(0.7/0.714)]
\]
\[
-\arctan(0.714/3.3)-\arctan(0.714/5.3)-90^\circ
\]
\[
=-73.58^\circ+83.01^\circ-44.43^\circ-12.21^\circ-7.67^\circ=-54.88^\circ
\]
\[
\theta_{p_5}=54.88^\circ
\]
根轨迹的终止角
\[
\varphi_{z_1}=-180^\circ+\theta_{p_1z_1}+\theta_{p_2z_1}+\theta_{p_3z_1}+\theta_{p_4z_1}+\theta_{p_5z_1}-\varphi_{z_2z_1}
\]
\[
=-180^\circ+[90^\circ+\arctan(1/1.732)]+\arctan(1.732/3)+\arctan(1.732/3)
\]
\[
+[90^\circ+\arctan(0.3/1.018)]+[90^\circ+\arctan(0.3/2.446)]-90^\circ
\]
\[
=30.00^\circ+30.00^\circ+19.11^\circ+16.42^\circ+6.99^\circ=102.52^\circ
\]
\[
\varphi_{z_2}=-102.52^\circ
\]
⑤ 根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程
\[
D(s)=s(s+4)(s+6)(s^2+1.4s+1)+K^*(s^2+2s+4)
\]
\[
=s^5+11.4s^4+39s^3+(43.6+K^*)s^2+(2K^*+24)s+4K^*=0
\]
令 \(s=j\omega\)，将其代入上式可得
\[
(j\omega)^5+11.4(j\omega)^4+39(j\omega)^3+(43.6+K^*)(j\omega)^2+(2K^*+24)(j\omega)+4K^*=0
\]
即
\[
\begin{cases}
11.4\omega^4-(43.6+K^*)\omega^2+4K^*=0 \\
\omega^5-39\omega^3+(2K^*+24)\omega=0
\end{cases}
\]
由于 \(\omega\neq0\)，由 \(\omega^5-39\omega^3+(2K^*+24)\omega=0\)，可得
\[
K^*=-0.5\omega^4+19.5\omega^2-12
\]
代入 \(11.4\omega^4-(43.6+K^*)\omega^2+4K^*=0\)，可解得
\[
\omega_{1,2}=\pm1.213,\quad\omega_{3,4}=\pm2.151,\quad\omega_{5,6}=\pm3.755
\]
则相应的根轨迹增益
\[
K_1^*=15.61,\quad K_2^*=67.52,\quad K_3^*=163.55
\]
因此，当 \(0<K^*<15.61\) 或 \(67.52<K^*<163.55\) 时，闭环系统稳定。
根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-75所示。
仿真曲线如图4-76、图4-77所示。
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