即
\[2d^2+(a+3)d+2a=0\]
解得
\[d_{1,2}=\frac{-(a+3)\pm\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}\]
欲使根轨迹具有实数分离点,首先须有
\[(a-1)(a-9)\geqslant 0\]
即
\[a\geqslant 9 \text{ 或 } a\leqslant 1\]
而且
\[d_{1,2}=\frac{-(a+3)\pm\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}\in[-a,\ -1]\]
以下分情况讨论:
(1) 当 \(a>9\) 时,经计算可得
\[d_1=\frac{-(a+3)+\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}<-1\]
\[d_2=\frac{-(a+3)-\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}>-a\]
即 \(a>9\) 时,系统根轨迹具有两个分离点,可作出此时系统的概略根轨迹图,如图4-95所示。
(2) 当 \(a=9\) 时,经计算可得
\[d=-3\]
即 \(a=9\) 时,系统根轨迹具有一个分离点,可作出此时系统的概略根轨迹图,如图4-96所示。
图4-95 \(1+G(s)=0\) \((a>9)\) 时概略根轨迹图
图4-96 \(1+G(s)=0\) \((a=9)\) 时概略根轨迹图
(3) 当 \(1<a<9\) 时,系统根轨迹没有实数分离点,可作出此时系统的概略根轨迹图,如图4-97所示。
(4) 当 \(a=1\) 时,系统根轨迹没有实数分离点,可作出此时系统的概略根轨迹图,如图4-98所示。
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