幅值为
\[K^* = \dfrac{|s-p_1| \cdot |s-p_2| \cdot |s-p_3| \cdot |s-p_4|}{|s-z_1| \cdot |s-z_2|} = 537.5\]
又
\[K^* = 4K\]
故重极点对应的 \(K\) 值为
\[K = \dfrac{K^*}{4} = 134.375\]
仿真曲线如图 4-152 所示。
MATLAB 程序：exe446.m
num=[1 12 32]； den=[1 24 169 0 0]； pzmap(num,den)； figure， rlocus(num,den)；
图 4-152 \(1+\dfrac{K^*(s^2+12s+32)}{s^4+24s^3+169s^2}=0\) 根轨迹(MATLAB)及分离点信息
4-47 已知控制系统 \(G(s)=\dfrac{K(s-1)}{s^2+4s+4}\)，\(H(s)=\dfrac{5}{s+5}\)。要求：(1) 绘制 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 时系统的根轨迹图，并确定使系统闭环稳定的 \(K\) 值范围；(2) 若已知系统闭环极点 \(s_1=-1\)，试确定系统的闭环传递函数。
解 (1) 由题意可知，系统的开环传递函数为
\[G(s)H(s) = \dfrac{K(s-1)}{s^2+4s+4} \cdot \dfrac{5}{s+5} = \dfrac{K^*(s-1)}{(s+2)^2(s+5)}\]
其中，\(K^*=5K\)。
① 实轴上的根轨迹：\([-5,-2]\)，\([-2,1]\)。
② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-2-2-5-1}{2}=-5\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\dfrac{2}{d+2}+\dfrac{1}{d+5}=\dfrac{1}{d-1}\]
解得 \(d_1=-3.85\)， \(d_2=2.85\)(舍去)
求得分离点的坐标为 \(d=-3.85\)。
根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图 4-153 所示。
由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程
\[D(s)=(s+5)(s^2+4s+4)+K^*(s-1)\]
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