(1) 当系统的反馈极性为负。由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为
\[D(s) = (s^2+2s+10)(s^2+4s+5) + K^*\]
\[= s^4+6s^3+23s^2+50s+50+K^* = 0\]
令 \(s=\mathrm{j}\omega\),将其代入上式可得
\[(\mathrm{j}\omega)^4+6(\mathrm{j}\omega)^3+23(\mathrm{j}\omega)^2+50(\mathrm{j}\omega)+50+K^*=0\]
即
\[\begin{cases} \omega^4-23\omega^2+50+K^*=0 \\ -6\omega^3+50\omega=0 \end{cases}\]
由于 \(\omega \neq 0\),可得系统临界稳定时参数
\[\omega=\pm 2.89, \qquad K^*=72.3\]
(2) 当系统的反馈极性为正。由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为
\[D(s) = (s^2+2s+10)(s^2+4s+5) - K^*\]
\[= s^4+6s^3+23s^2+50s+50-K^* = 0\]
令 \(s=\mathrm{j}\omega\),将其代入上式可得
\[(\mathrm{j}\omega)^4+6(\mathrm{j}\omega)^3+23(\mathrm{j}\omega)^2+50(\mathrm{j}\omega)+50-K^*=0\]
即
\[\begin{cases} \omega^4-23\omega^2+50-K^*=0 \\ -6\omega^3+50\omega=0 \end{cases}\]
由于此时部分根轨迹布满实轴,其余根轨迹不穿过虚轴,可得临界稳定时参数
\[\omega=0, \qquad K^*=50\]
因此,当系统的反馈极性为负,\(K^*<72.3\) 时系统能稳定运行;当系统的反馈极性为正,\(K^*<50\) 时系统能稳定运行。在没有确认反馈极性时,\(0<K^*<50\) 闭环系统均可稳定运行。
仿真曲线如图4-78、图4-79所示。
MATLAB程序:exe425.m
G1=zpk([],[-1+3i -1-3i -2+i -2-i],1); figure(1), rlocus(G1);
G2=zpk([],[-1+3i -1-3i -2+i -2-i],-1); figure(2), rlocus(G2);
图4-78 反馈极性为负时系统常规根轨迹图(MATLAB)
图4-79 反馈极性为正时系统零度根轨迹图(MATLAB)
4-26 设系统如图4-80所示,试概略绘制 \(K\) 从 \(0 \to +\infty\) 时系统的闭环根轨迹图,并