由以上分析绘制系统的根轨迹如图 4-147 所示。
仿真曲线如图 4-148 所示。
图 4-147 \(1+\dfrac{K^{*}}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}=0\)
概略零度根轨迹图
图 4-148 \(1+\dfrac{K^{*}}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}=0\)
零度根轨迹图(MATLAB)
MATLAB 程序：exe444.m
G=zpk([],[-1 -2 -3 -4],-1)； figure， rlocus(G)；
4-45 试证明对于多项式方程 \(s^{3}+6s^{2}+8s+K=0\)，其根轨迹的复数部分为双曲线，并确定双曲线的顶点。
证明 将多项式方程作等效变化，得等价开环传递函数为
\[G(s)=\dfrac{K}{s^{3}+6s^{2}+8s}\]
设特征根为 \(s=\sigma+\mathrm{j}\omega\)，则
\[G(\sigma+\mathrm{j}\omega)=\dfrac{K}{(\sigma+\mathrm{j}\omega)^{3}+6(\sigma+\mathrm{j}\omega)^{2}+8(\sigma+\mathrm{j}\omega)}\]
\[=\dfrac{K}{(\sigma^{3}-3\sigma\omega^{2}+6\sigma^{2}-6\omega^{2}+8\sigma)-\mathrm{j}(\omega^{3}-3\sigma^{2}\omega-12\sigma\omega-8\omega)}\]
\[=\dfrac{K[(\sigma^{3}-3\sigma\omega^{2}+6\sigma^{2}-6\omega^{2}+8\sigma)+\mathrm{j}(\omega^{3}-3\sigma^{2}\omega-12\sigma\omega-8\omega)]}{(\sigma^{3}-3\sigma\omega^{2}+6\sigma^{2}-6\omega^{2}+8\sigma)^{2}+(\omega^{3}-3\sigma^{2}\omega-12\sigma\omega-8\omega)^{2}}\]
由根轨迹方程有
\[\mathrm{Im}[G(\sigma+\mathrm{j}\omega)]=0\]
即 \(\omega^{3}-3\sigma^{2}\omega-12\sigma\omega-8\omega=0\)
也即 \(3(\sigma+2)^{2}-\omega^{2}=4\)
证得根轨迹的复数部分为双曲线。
当 \(\omega=0\) 时
\[\sigma=\pm\sqrt{4/3}-2=-0.845\ \text{或}\ -3.155(\text{舍去})\]
又由等价开环传递函数可得，系统开环极点为
\[p_{1}=0，\quad p_{2}=-2，\quad p_{3}=-4\]
故实轴上的根轨迹为 \((-\infty,-4]\) 与 \([-2,0]\)
则双曲线的顶点坐标为 \((-0.845,\mathrm{j}0)\)。
仿真曲线如图 4-149 和图 4-150 所示。
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