\[p_1 = G_1G_2, \qquad \Delta_1 = 1\]
\[p_2 = G_rG_2, \qquad \Delta_2 = 1\]
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
\[\Phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\sum p_i \Delta_i}{\Delta} = \frac{G_1G_2 + G_rG_2}{1+G_1G_2}\]
则系统的误差函数为
\[E(s) = R(s) - C(s) = R(s) \cdot [1-\Phi(s)] = \frac{1-G_rG_2}{1+G_1G_2} \cdot R(s)\]
设加速度函数输入为 \(r(t)=\dfrac{1}{2}t^2\)，即 \(R(s)=\dfrac{1}{s^3}\)，利用终值定理来求解系统的稳态误差，有
\[e_{ss}(\infty) = \lim_{s\to 0} sE(s) = \lim_{s\to 0} s \cdot \frac{1-G_rG_2}{1+G_1G_2} \cdot \frac{1}{s^3}\]
\[= \frac{Ts^3+(1+2\zeta T-K_2\lambda_2)s^2+(2\zeta-K_2\lambda_1)s}{s(s+2\zeta)(Ts+1)+K_1K_2(Ts+1)} \cdot \frac{1}{s^2}\]
欲使系统在加速度函数输入下不产生稳态误差，须有
\[\begin{cases}1+2\zeta T-K_2\lambda_2=0\\ 2\zeta-K_2\lambda_1=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\lambda_1=2\zeta/K_2=0.02\\ \lambda_2=(1+2\zeta T)/K_2=0.024\end{cases}\]
故当参数 \(\lambda_1=0.02\) 和 \(\lambda_2=0.024\)，可使系统在加速度函数输入下不产生稳态误差。
仿真结果如图 3-34 所示。
MATLAB 程序：exe339.m
num=[1.2 21 100]; den=[0.2 1.2 21 100]; t=0:0.01:10; u=0.5*t.^2;
figure, lsim(num,den,u,t); grid on
图 3-34 复合控制系统单位加速度响应曲线（MATLAB）
3-40 设控制系统闭环传递函数为 \(\Phi(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\)，如果（1）\(1>\zeta\geqslant 0.707\)，\(\omega_n\geqslant 2\)；（2）\(0.5\geqslant\zeta>0\)，\(4\geqslant\omega_n\geqslant 2\)；（3）\(0.707\geqslant\zeta\geqslant 0.5\)，\(\omega_n\leqslant 2\)。试在 \(s\) 平面上绘出系统特征方程根可能位于的区域。