\[\frac{A}{s} + \frac{b}{s+a} + \frac{c}{s+b}\]
于是
\[e(t)=\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{s^2+a_1 s+a_0}{s(s+a)(s+b)}\right]=\frac{a_0}{ab}+\frac{a^2-a_1 a+a_0}{a(a-b)}\mathrm{e}^{-at}-\frac{b^2-a_1 b+a_0}{b(a-b)}\mathrm{e}^{-bt}\]
\[=0.625+0.75\mathrm{e}^{-2t}-0.375\mathrm{e}^{-4t}\]
系统在单位阶跃输入作用下的误差响应曲线如图 3-29 所示。
图 3-29 系统在单位阶跃输入作用下的 误差响应曲线(MATLAB)
图 3-30 控制系统结构图
3-37 具有扰动输入的控制系统如图 3-30 所示。在扰动 \(n(t)=f_0 \cdot 1(t)\) 和输入 \(r(t)=r_0 \cdot 1(t)\) 时,试计算系统在扰动和输入同时作用下的稳态误差 \(e_{ss}(\infty)\)。
解 当 \(n(t)=0,r(t)=r_0 \cdot 1(t)\),即 \(R(s)=\dfrac{r_0}{s}\) 时,由图 3-30 可得,系统的闭环传递函数为
\[\Phi_r(s)=\frac{K_2}{T_2 s+1+K_2}\]
此时
\[E_r(s)=R(s)-C(s)=R(s)[1-\Phi_r(s)]=\frac{T_2 s+1}{T_2 s+1+K_2}R(s)\]
用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{sr}(\infty)=\lim_{s \to 0}sE_r(s)=\lim_{s \to 0}s \cdot \frac{T_2 s+1}{T_2 s+1+K_2} \cdot \frac{r_0}{s}=\frac{r_0}{1+K_2}\]
当 \(r(t)=0,n(t)=f_0 \cdot 1(t)\),即 \(N(s)=\dfrac{f_0}{s}\) 时,由图 3-30 可得,系统的闭环传递函数为
\[\Phi_n(s)=\frac{K_1(T_2 s+1)}{(T_1 s+1)(T_2 s+1+K_2)}\]
此时 \(E_n(s)=R(s)-C(s)=-N(s)\Phi_n(s)=-\dfrac{K_1(T_2 s+1)}{(T_1 s+1)(T_2 s+1+K_2)}N(s)\)
用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{sn}(\infty)=\lim_{s \to 0}sE_n(s)=-\lim_{s \to 0}s \cdot \frac{K_1(T_2 s+1)}{(T_1 s+1)(T_2 s+1+K_2)} \cdot \frac{f_0}{s}=-\frac{K_1 f_0}{1+K_2}\]
故 \(r(t)=r_0 \cdot 1(t),n(t)=f_0 \cdot 1(t)\) 时,系统的稳态误差为
· 108 ·