\[2+K-\frac{1+K}{a}=0\]
由辅助方程
\[as^2+(1+K)=0\]
解得一对共轭纯虚根为
\[s_{1,2}=\pm j\sqrt{\frac{1+K}{a}}=\pm j2\]
于是,求解联立方程
\[\begin{cases}2+K-\dfrac{1+K}{a}=0\\[2mm]\sqrt{\dfrac{1+K}{a}}=2\end{cases}\]
闭环系统持续振荡时应对应
\[K=2,\quad a=0.75\]
3-15 已知反馈系统的开环传递函数为\(G(s)H(s)=\dfrac{Ke^{-s}}{s(s^2+5s+9)}\),试用劳斯判据确定系统稳定时\(K\)的上界。(提示:对于低频\(e^{-s}\approx 1-s\)。)
解 在低频时,\(e^{-s}\approx 1-s\),故系统的开环传递函数可以等效为
\[G_o(s)=\frac{K(1-s)}{s(s^2+5s+9)}\]
则闭环系统的特征方程为
\[D(s)=s(s^2+5s+9)+K(1-s)=s^3+5s^2+(9-K)s+K=0\]
利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性,列出劳斯表如下:
| \(s^3\) | \(1\) | \(9-K\) |
| \(s^2\) | \(5\) | \(K\) |
| \(s^1\) | \(9-1.2K\) | |
| \(s^0\) | \(K\) |
欲使系统稳定,须有
\[\begin{cases}K>0\\9-1.2K>0\end{cases}\Rightarrow 0<K<7.5\]
故使系统稳定时\(K\)的上界为7.5。
仿真结果如图3-9及图3-10所示。
MATLAB程序:exe315.m
k=5; numg=[-k k]; deng=[1 5 9 0]; numh=[1]; denh=[1];
[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);
figure, step(num,den,20); grid on;
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