考研851 自动控制原理
题海 · solution · p.99
\[D(s)=s(s+4)(s^2+2s+2)+7(s+1)=s^4+6s^3+10s^2+15s+7=0\]

由赫尔维茨判据可知,\(n=4\),各项系数\(a_0=1,a_1=6,a_2=10,a_3=15,a_4=7\)均为正,且\(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3=45>0\),以及\(\Delta_2>a_1^2a_4/a_3=16.8\),因此系统是稳定的。

\[G(s)=\frac{7(s+1)}{s(s+4)(s^2+2s+2)}=\frac{(7/8)(s+1)}{s(0.25s+1)(0.5s^2+s+1)}\]

由\(G(s)\)可知,系统是Ⅰ型系统,且\(K=7/8\),故系统在\(1(t),t,t^2\)输入信号作用下的稳态误差分别为

\[e_{ssp}(\infty)=0,\qquad e_{ssv}(\infty)=1/K=1.143,\qquad e_{ssa}(\infty)=\infty\]

(3)根据系统的开环传递函数可知闭环系统的特征方程为

\[D(s)=s^2(0.1s+1)+8(0.5s+1)=0.1s^3+s^2+4s+8=0\]

由赫尔维茨判据可知,\(n=3\),各项系数\(a_0=0.1,a_1=1,a_2=4,a_3=8\)均为正,且\(a_1a_2-a_0a_3=3.2>0\),因此系统是稳定的。

由\(G(s)\)可知,系统是Ⅱ型系统,且\(K=8\),故系统在\(1(t),t,t^2\)输入信号作用下的稳态误差分别为

\[e_{ssp}(\infty)=0,\qquad e_{ssv}(\infty)=0,\qquad e_{ssa}(\infty)=\frac{2}{K}=0.25\]

3-19 设单位反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\dfrac{100}{s(0.1s+1)}\),试求当输入信号\(r(t)=1+2t+t^2\)时,系统的稳态误差。

解 由于系统为单位负反馈系统,根据开环传递函数可以求得闭环系统的特征方程为

\[D(s)=0.1s^2+s+100=0\]

由赫尔维茨判据可知,\(n=2\)且各项系数为正,因此系统是稳定的。

由\(G(s)\)可知,系统是Ⅰ型系统,且\(K=100\)。因为Ⅰ型系统在\(1(t),t,\dfrac{1}{2}t^2\)信号作用下的稳态误差分别为\(0,\dfrac{1}{K},\infty\),故根据线性叠加原理有:系统的稳态误差为

\[e_{ss}(\infty)=0+\frac{2}{K}+\infty=\infty\]

3-20 设单位反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\dfrac{1}{Ts}\),试用动态误差系数法求出当输入信号分别为\(r(t)=\dfrac{t^2}{2}\)和\(r(t)=\sin 2t\)时,控制系统的稳态误差。

解 由题设可知,该系统属于单位反馈系统,则系统的误差传递函数为

\[\Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)}=\frac{Ts}{1+Ts}=Ts-(Ts)^2+(Ts)^3-(Ts)^4+\cdots\]
\[=C_0+C_1s+C_2s^2+C_3s^3+\cdots\]

所以有

\[E(s)=\Phi_e(s)\cdot R(s)=(C_0+C_1s+C_2s^2+C_3s^3+\cdots)R(s)\]

故动态误差系数为

\[C_0=0,\quad C_1=T,\quad C_2=-T^2,\quad C_3=T^3,\quad C_4=-T^4,\cdots\]

本系统为Ⅰ型系统,有\(C_1=\dfrac{1}{K_v}\),其中\(K_v\)为静态速度误差系数,故当\(r(t)=t^2/2\)时,

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