考研851 自动控制原理
题海 · 题解 · p.520
\[ \boldsymbol{T} = \begin{bmatrix} 6 & -3 & 4 \\ 5 & -4 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \bar{x} = Tx, \quad \boldsymbol{T}^{-1} = \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 & 0.5 \\ 1 & -2 & 4 \\ 0.25 & -0.75 & 2.25 \end{bmatrix} \]

因此可得系统的可观测标准型为

\[ \dot{\bar{x}} = \boldsymbol{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}^{-1}\bar{x} + \boldsymbol{T}\boldsymbol{b}u = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & -11 \\ 0 & 1 & -6 \end{bmatrix} \bar{x} + \begin{bmatrix} 19 \\ 22 \\ 7 \end{bmatrix} u \]
\[ y = \boldsymbol{c}\boldsymbol{T}^{-1}\bar{x} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \bar{x} \]

(3) MATLAB 验证。最后利用下列 MATLAB 程序可得系统的可观测标准型实现及其基底变换矩阵。

MATLAB 程序：exe932.m

A1=[2 -1 -1;0 -1 0;0 2 1]; B1=[7 2 1]'; C1=[1 1 0]; D1=0;

str1=jobsv(A1,C1)

[Ao,Bo,Co,Po]=normal_obsver(A1,B1,C1,D1)

T=inv(Po)'

9-33 设系统的传递函数为 \(G(s) = \dfrac{s^2+as+b}{s^3+7s^2+14s+8}\)，\(a<b\)。试问：(1) \(a,b\) 为何值时，\(G(s)\)既可控又可观测实现的阶数最低？请给出一个这样的实现；(2) \(b=6\) 时，\(G(s)\)最小实现的阶数 \(n\) 是多少？写出 \(G(s)\)所有可控的 \(n\) 阶可观测标准型实现。

解 (1) 系统的传递函数为

\[ G(s) = \frac{s^2+as+b}{(s+1)(s+2)(s+4)} \]

当 \(s^2+as+b=(s+1)(s+2)\) 时，\(a=3,b=2\)，不满足 \(a<b\) 条件；

当 \(s^2+as+b=(s+1)(s+4)\) 时，\(a=5,b=4\)，不满足 \(a<b\) 条件；

当 \(s^2+as+b=(s+2)(s+4)\) 时，\(a=6,b=8\)，满足 \(a<b\) 条件，传递函数可约简为

\[ G_1(s) = \frac{1}{s+1} = \frac{Y(s)}{U(s)} \]

此时，\(G_1(s)\)既可控又可观，是 \(G(s)\)的阶数最低的实现，阶数为 1。

令 \(y=x\)，则相应的状态方程组为

\[ \dot{x} = -x+u, \quad y=x \]

(2) 若 \(s^2+as+6=(s+1)(s+6)\)，此时 \(a=7\)，不满足 \(a<b\) 条件；

若 \(s^2+as+6=(s+2)(s+3)\)，此时 \(a=5\)，满足 \(a<b\) 条件；

若 \(s^2+as+6=(s+4)(s+1.5)\)，此时 \(a=5.5\)，满足 \(a<b\) 条件。

当 \(a=5,b=6\) 时，\(G(s)\)可约简为

\[ G_2(s) = \frac{s+3}{(s+1)(s+4)} = \frac{Y(s)}{U(s)} \]

此时，\(G_2(s)\)既可控又可观测。为 \(G(s)\)的最小实现，阶数为 2，相应的可观测标准型状态方程组为

\[ \dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} u \]

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