超调量 \(\sigma\% = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\% = 16.3\%\)
峰值时间 \(t_p = \dfrac{\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}} = 0.36\text{s}\)
调节时间 \(t_s = \dfrac{4.4}{\zeta \omega_n} = 0.88\text{s}\) \((\Delta = 2\%)\)
仿真结果如图 3-36 所示。
MATLAB程序:exe341.m
num1=[9]; den1=[1 3 9]; figure, step(num1,den1)
num2=[10]; den2=[1 10 100]; figure, step(num2,den2)
图 3-36 系统单位阶跃响应(MATLAB)
3-42 设单位反馈系统的开环传递函数为 \(G(s) = \dfrac{4}{s(s+2)}\),试写出该系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应表达式。
解 由题意可知
\[G(s) = \frac{4}{s(s+2)} = \frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
即系统的自然频率和阻尼比分别为
\[\omega_n = 2, \quad \zeta = 0.5\]
由阻尼比可得 \(s\) 平面上自然频率与负实轴的夹角为 \(\beta = \arccos\zeta = 60°\)。该系统的单位阶跃响应表达式为
\[c(t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}\, t + \beta)\]
\[= 1 - 1.155 e^{-t} \sin(1.732t + 60°)\]
该系统的单位斜坡响应表达式为
\[c(t) = t - \frac{2\zeta}{\omega_n} + \frac{1}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}\, t + 2\beta)\]
\[= t - 0.5 + 0.577 e^{-t} \sin(1.732t + 120°)\]
则可绘制出系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应概略曲线,如图 3-37 所示。