第二章
控制系统的数学模型
Mathematical Models of Systems
第2部分
自动化系
===== 幻灯片 2 =====
1.动态结构图概念
将系统各环节用传递函数框图表示，根据系
统的物理原理，按照信号流传关系，依次将各框
图联接起来，这个图叫系统的动态结构图。
由4种基本单元组成：
信号线、引出点（分支点）
比较点（求和点）、方框
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 3 =====
（1）串联连接
R(s) U1 (s) U2 (s) C(s) R(s) C(s)
G1 (s) G2 (s) G3 (s) G(s)
（a） （b）
C(s)
G 1(s)G 2(s)G 3(s) G(s)
R(s)
n
G(s) G i(s) n为相串联的环节数
i1
特点：串联环节的等效传函等于所有传函的乘积。
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 4 =====
G1(s)
G2(s)
R(s) C(s)
G(s)
R(s) C(s)
（b）
Gn(s)
C(s)
G 1(s) G 2(s) .....G n(s) G(s)
R(s)
特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)
输出C(s)为各环节的输出的代数和
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 5 =====
G1(s)
G2(s) n
G(s) G i(s)
R(s) C(s) i1
Gn(s)
n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。
结论：并联环节的等效传递函数等于所有并
联环节传递函数的代数和。
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 6 =====
R(s) E(s) C(s)
G(s)
+
-
B(s)
H(s)
C(s) E(s)G(s)
C(s) G(s)
E(s) R(s) B(s)
R(s) 1 G(s)H(s)
B(s) H(s)C(s)
“—”对应正反馈，“+”对应负反馈
当H(s)=1 称为单位反馈系统
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 7 =====
描述某系统的微分方程组如下：
式中 均为大于零的常数。
系统初态为零
===== 幻灯片 8 =====
基本原则
（1）等效原则：前向通道的传函一定不变
（2）各个回路的传函乘积不变
法则（分支点和求和点移动时的法则）
（1）移动前后输出量不变
（2）相邻的求和点与求和点可以相互易位、重叠
（3）相邻的分支点与分支点可以互相易位、重叠
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 9 =====
R(s)G(s)+X(s) R(s)
R(s) G(s)
G(s) + [R(s)+X(s)]G(s)
求和点前移 X(s) 比较点后移
X(s)
R(s) R(s)G(s)+X(s) R(s)G(s)+X(s)G(s)
R(s)
G(s) G(s)
+
X(s) X(s)
1/G(s) G(s)
C(s) R(s)G(s) X(s) C(s) [R(s) X(s)]G(s)
X(s)
[R(s) ]G(s) R(s)G(s) X(s)G(s)
G(s)
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 10 =====
R(s)G(s) R(s) A R(s)G(s)
R(s) A G(s)
G(s)
R(s)G(s) R(s)
引出点前移
R(s)G(s)
R(s) R(s)G(s)
R(s) A G(s)
G(s)
R(s)
R(s)G(s) 1/G(s)
G(s)
C ( s ) R ( s )G ( s ) 1
R ( s ) R ( s )G ( s ) R (s)
G (s)
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 11 =====
R(s)
X1(s) X2(s)
X2(s) R(s)
R(s)
X2(s) X1(s)
X1(s)
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 12 =====
R(s) R(s)
R(s) C R(s)
A B D
R(s) R(s)
R(s) R(s)
R(s) C B
A D R(s)
R(s) R(s)
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 13 =====
数C(s)/R(s)
H 2 ( s)
R(s ) C (s )
G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s ) G4 ( s )
H 3 ( s)
H1 ( s)
解题思路：同类型节点移动靠近，消除交叉连接
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 14 =====
将比较点2后移，然后与比较点3交换。
H 2 ( s)
R(s )
G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s ) G4 ( s )
C (s )
H 3 ( s)
H1 ( s)
14
===== 幻灯片 15 =====
配项，保证原比较点处添加信号不变
===== 幻灯片 16 =====
G2 ( s ) H 2 ( s )
G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s ) G4 ( s )
H 3 (s)
H1 ( s)
===== 幻灯片 17 =====
G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s ) G4 ( s)
H3 (s)
H1( s)
内反馈环节等效变换
G3 ( s )
G1 (s) G2 ( s ) G4 ( s)
1 G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )
H 3 ( s)
H1 ( s)
===== 幻灯片 18 =====
G3 ( s)
G1 ( s ) G2 ( s ) G4 ( s )
1 G2 ( s )G3 ( s) H 2 ( s)
H 3 (s)
H1 ( s)
G3 ( s )G4 ( s )
G1 ( s )G2 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )
H3 ( s)
H1 ( s)
===== 幻灯片 19 =====
G1 ( s )G2 ( s )
1 G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s ) G3 ( s )G4 ( s ) H 3 ( s )
H1 ( s)
等效变换化简结果
R GGGG
1 2 3 4 C
1GGH
2 3 2 GGH
3 4 3 GGGGH
1 2 3 4 1
===== 幻灯片 20 =====
H 2 ( s)
R(s ) C (s )
G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s ) G4 ( s )
H 3 ( s)
H1 ( s)
解题思路：同类型节点移动靠近，消除交叉连接
===== 幻灯片 21 =====
H 2 ( s)
R(s )
G1 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s ) G4 ( s )
C (s )
H 3 ( s)
H1 ( s )
大家做一下
===== 幻灯片 22 =====
②
① - I 2 (s ) ④
U r (s) I1 ( s) U C1 (s) ③ U c (s)
1 1 1 1
C R1 sC1 R2 A sC 2
- B -
U C1 (s) U c (s)
（c）方块图
R1 C2 s
U r (s) - 1
Uc (s)
1 1 1
1 2
R1 C1 s R2 C2 s
- -
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 23 =====
R1 C2 s
U r (s) - 1
U c (s)
1 1 1
1 2
R1 C1s R2 C2 s
- -
R1C2 s
Ur (s) - 1 Uc (s)
1
R1C1 s R2C2 s
- -
R1C2 s
-
1 U c (s)
U r (s)
( R1C1s 1)(R2C2 s 1)
U r (s) 1
U c (s)
R1R2C1C2 s 2 (R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 24 =====
确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输
入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进
行结构图化简，求得各自的传递函数。
若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首
先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。
对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变
换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。
24
===== 幻灯片 25 =====
有效输入信号所对应的综合点尽量不要
移动。
尽量避免综合点和引出点之间的移动。
25
===== 幻灯片 26 =====
N(s)
R(s) E(s) C(s)
G1(s) G2(s)
-
B(s)
H(s)
R(s) 主控输入
N(s) 扰动输入
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 27 =====
(1). 前向通道函数
C(s)
G(s) G 1(s)G 2(s)
E(s)
(2).反馈通道函数
B(s)
H(s)
C(s)
(3).闭环系统的开环传函
/ B(s)
G (s) G 1(s)G 1(s)H(s)
E(s)
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 28 =====
(4).闭环传函 (对主控输入作用)
C(s) G 1(s)G 2(s)
Φr(s)
R(s) 1 G 1(s)G 2(s)H(s)
前向通道传函
闭环传递函数
1 开环传函
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 29 =====
（5）.对扰动输入作用的闭环传函
令R( s ) 0
N(s) C(s)
G2(s)
G1(s) H(s)
C(s) G 2(s)
n(s)
N(s) 1 G 1(s)G 2(s)H(s) 例
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 30 =====
（6）.闭环系统的误差传函（对主控输入）
A：令 N(s) = 0
R(s) E(s)
H(s) G2(s) G1(s)
E(s) 1 1
Φe(s)
R(s) 1 G 1(s)G 2(s)H(s) 1 G '(s)
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 31 =====
（6）.闭环系统的误差传函（对扰动输入）
B. 令R(s) = 0
N(s) E(s)
G2(s) H(s) -1
+
G1(s)
E(s) G 2(s)H(s) G 2(s)H(s)
Φen(s)
N(s) 1 G 1(s)G 2(s)H(s) 1 G '(s)
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 32 =====
由线性系统的叠加原理，它们同时作用时系统
的输出为
G1 ( s )G2 ( s ) G2 ( s )
C ( s) R( s) N ( s)
1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
总 (s) N (s) 错
由于是对不同变量的反映，所以不能进行叠加
2.3 动态结构图及其等效变换
===== 幻灯片 33 =====
2-2(b)、(c)
2-5 2-10
2-13
2-17（b）(c) (f)
2-18
===== 幻灯片 34 =====
信流图：反映各个内部变量的关系，可以解决多
输出多输入的关系
1.基本概念
a12 增 益
因 x1 x2 果 x2 a12 x1
节点 输出方向
节点: 信号与变量叫节点.
支路：连接两个节点的有向线段，起于节点，
终于节点
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 35 =====
输入支路 :转向节点的支路；
输出支路：离开节点的支路；
源节点(输入节点)：只有输出支路，没有输入支路的节
点；
阱节点(输出节点)：只有输入支路，没有输出支路 ；
混合节点：输出与输入支路均有；
通道：从一个节点出发，沿着相邻支路的支路
方向前进
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 36 =====
前向通道：从源节点开始到阱节点之间，与每个节点仅
相交一次的通道。
回路：通道的终点等于起点，每个节点只通过一次。
中间没有经过其他环节，叫自回环。
互不接触回路：回路与回路之间既没有公共节点又
没有公共支路 。
通道传输：通道中各个支路增益的乘积 。
回路传输：回路中各个支路增益的乘积 。
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 37 =====
i j
x0 a x1 b x2 c x3 d x4 e x5
l m
x 0 : 源节点（输入节点）
x 5 : 汇节点(输出节点)
x1 , x 2 ,x 3 ,x 4 : 混合节点
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 38 =====
一.系统的模型是一组联立代数方程
（1）写成因果关系
果变量写在等式左端，因变量右端。
（2）果变量只能出现一次
（3）果变量系数化为1
例: x 1 dx 2 ex 3 x 4 0
bx 1 x 2 ax 3
x1 , x2 输出变量 x3 ,x4 输入变量
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 39 =====
x 2 bx 1 ax 3
1 e
d
x4 x3 a x2 x1
b
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 40 =====
（1）拉氏变换成代数方程（并非0初始条件）
（2）将代数方程变成因果关系
d 2c(t ) d c(t )
例 2
3 2c(t ) r (t )
dt dt
解： 设 x1 ( s ) C ( s)
x2 ( s) sC ( s ) sx1 ( s)
x3 ( s) s 2C ( s) sx2 ( s)
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 41 =====
x1 ( s ) s 1 x2 ( s )
1
x
2 ( s ) s x3 ( s )
x ( s) R(s) 3x ( s) 2 x ( s)
3 2 1
s-1 s-1 1
R(s) X3(s) -3 X2(s) X1(s) C(s)
-2
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 42 =====
1. 在结构图信号线上标出节点;
2. 用标有传函的线段代替方框;
3. 比较点之后的引出点，只设一个节点;
比较点之前的引出点，要设两个节点;
例
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 43 =====
1.信流图与微分方程是一一对应的，是微分
方程的另一种图示.
2.是直观的信号传输系统，源点---信号发生器
混合节点---中转站，可进行处理、运算
终点----输出 .
3.可以研究多个内部变量的关系.
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 44 =====
4.可以适用于多输入多输出的情况，叫状态图.
5.同一系统所选用的变量不一样，形式不是唯一
的.
6.通过加增益为1的支路 ，可以把混合节点变为
汇点，不能变成源点.
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 45 =====
1.乘法 n
a i
a1 a2 an i1
x1 x2 x3 xn-1 xn x1 xn
2.加法法则
a1
n
a2
∑ai
a3 i=1
X1 X2
X1 X2
an
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 46 =====
3.混合节点消去法则 X1
X1
a1a3
a1
a3 X4
X3 X4
a2a3
a2 X2
X2
4.自回环消去法
a
b 1 b
a
x1 x2 x1 x2
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 47 =====
Mason 's gain formula
直接求取从源节点到阱节点的传递函数，不需简
化信号流图，其也可直接用于系统结构图。
1 n
P PkΔk
Δ k 1
P 系统总增益（总传递函数）
n 前向通路数
Pk 第k条前向通路总增益
Δ 信号流图特征式，它是信号流图所表示的
方程组的系数矩阵的行列式。
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 48 =====
m
1 L1 L 2 L3 (1) L m
L 1 ―所有不同回路回路增益之和；
L ―所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
2
L ―所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
m
在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间
的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 49 =====
n
1
P PkΔk
Δ k 1
Δk 为与第k条前向通路不相接触的那一部分信号
流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余
因子。
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 50 =====
例1 求图所示信号流图的总增益 X1(s)
a42 a44
a12 a23 a34 a45 x5
(a) x1 x4
x2
a32 x3
a35
a52
前向通道两条
P1 a12a23a34a45 1 1
(b)
x1 x2 x3 x4 x5
x5
(c) P1 a12a23a35 2 1 a44
x1 x2 x3
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 51 =====
a12 a23 a34 a45 x5
(a) x1 x4
x2
a32 x3
a35
a52
5个回路
x2 x3 互不接触 L1 a23a32
(d)
L12 a23a32a44
L2 a23a34a42
(e) x2 x4
x4
L3 a44
互不接触
(f) x2 x5
L22 a23a35a52a44
L4 a23a34a45a52
x3 x5
(g) x2
L5 a23a35a52
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 52 =====
例2：求 R(s)
G6 G7
G1 G2 G3 G4 G5
R(s) C(s)
1 2 3 4 5 6
H1
H2
L G H G G G G H G G H G G G H
1 4 1 2 3 4 5 2 2 7 2 6 4 5 2
L G H G G H
2 4 1 2 7 2
1 G4 H 1 G2G3G4G5 H 2 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2
G4 H 1G2G7 H 2
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 53 =====
G1 G2 G3 G4 G5
R(s) C(s)
1 2 3 4 5 6
H1
H2
P1 G1G2G3G4G5 Δ1 1
P2 G1G6G4G5 Δ2 1
P3 G1G2G7 Δ3 1 G4 H1
1
C ( s) / R( s) [G1G2 G3G4G5 G1G6 G4 G5 G1G2 G7 (1 G4 H 1 )]
2.4 系统的信号流程图
===== 幻灯片 54 =====
i
h
a X2 b c X4 d e X6 f
X1 X3 X5 X7
g g
===== 幻灯片 55 =====
P70 2-21
2-22 (a)、 (e)
===== 幻灯片 56 =====
1 传递函数的定义、性质
2 由微分方程组求传递函数
3 结构图等效变换求传递函数
4 梅森增益公式求传递函数
5 解析法建立微分方程
6 明确传递函数与微分方程的关系；
===== 幻灯片 57 =====
1.给定电路图、原理图（RC 电路、质量块阻尼器）求传递
函数
2.拉氏变换题
（1）已知f(t)函数或曲线， 求F(s)
（2）已知微分方程，求初值、终值
3. 已知响应（脉冲或阶跃响应），求传递函数
4.已知微分方程，求传递函数；
5.已知方框图，求传递函数（中科院要求用化简和梅森公
式分别求传递函数）
===== 幻灯片 58 =====