六、(15分)
某单位负反馈系统的开环传递函数为
\[G_1(s) = \dfrac{K}{s(s^2+2s+2)}\]
(1) 绘制 \(K>0\) 时的概略根轨迹，在图上标识根轨迹的渐近线。
(2) 计算根轨迹出射角（初始角），求根轨迹与虚轴相交的根轨迹增益。
手写解答
（1）无零点，\(m=0\)
极点：\(p_1=0\)，\(p_{2,3}=-1\pm j\)，\(n=3\)
\(n-m=3\)：有渐近线
实轴上（正方向）\((0,\infty)\)
\[\theta_K = \dfrac{2k+1}{3}\pi = \begin{cases}\dfrac{\pi}{3} \\ \pi \\ -\dfrac{\pi}{3}\end{cases}\]
\[\sigma = \dfrac{-1+j+(-1)-j-0}{3} = -\dfrac{2}{3}\]
分离点：
\[\dfrac{1}{d+1-j} + \dfrac{1}{d+1+j} + \dfrac{1}{d} = 0 \quad \text{没有分离点}\]
\[d_1 = \dfrac{-1+j}{2}, \quad d_2 = \dfrac{1+j}{2} \ (\text{舍})\]
\[d_{1,2} = \dfrac{-1\pm j\sqrt{2}}{3}\]
图1-4（手绘根轨迹草图，描述：坐标系原点标 \(0\)，实轴上标注约 \(-\dfrac{2}{3}\) 处一点，虚轴附近有一对共轭复数极点标记 \(\times\)，两条曲线分别从上方复数极点和下方复数极点出发向左上/左下延伸，实轴负方向另有渐近线射线；图上另有两处手写数字 \(-2\) 标注在坐标轴右侧，具体含义不明确）
起始角（出射角）：
\[\theta = (2k+1)\pi - \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\]
（下方虚轴交点推导，字迹模糊，按可辨认部分转写）
令 \(s = j\omega\) 代入闭环特征方程：
\[1 + \dfrac{K}{j\omega(j\omega)^2 \cdot (\dots) + 2)} = ?\]
\[\Rightarrow 1 - \dfrac{K}{\omega j - \omega^2 - 2\omega j + 2\dots} = ?\]
（以下两行算式因照片虚焦严重，肉眼无法可靠辨认，大致涉及形如 \(-2\omega^2 + 2 = 0\) 及 \(-\omega^3 - 2\omega + 2\omega = 0\) 的方程，具体系数与解不确定，未强行给出结论）