各位同学大家好，欢迎来到考试点，我们接着上一讲呢，复习自动控制原理的第九章。那么，在上一讲当中，我们呢？知道了在。第九章当中，我们建立了一种新的数学模型，叫做状态，空间，方程。那么，这种状态，空间表达式呢？它既可以针对单输入，单输出的系统，也可以针对多输入，多输出的系统。因此，它针对的范围会更广，而建立起来状态，空间，方程以后，我们呢，要借助于这种数学模型来分析系统的性能。那么，对于系统的性能分析呢？包括的仍然是啊，这样的几个方面第一。它的可控性，可观性，那么上节课呃上一讲呢，我们已经复习了，那这部分的内容我们认为所谓系统的可控性是指？系统的外加的控制作用，对于系统的状态能不能够控制，那能不能够控制，有没有影响而可观性呢？我们认为从系统的输出当中，我们能不能够推出来系统状态？的观测量那观测量在有了可控性，可观性这样的概念之后，我们又系统的复习了判定系统可供可控性和可观性的一些判定方法。这是对于系统性能两个方面的分析，除了可控可观的分析之外，还包括它运动过程的分析以及它所对应的稳定性的分析。这个呢，我们来看一下，在分析的过程当中，不可避免的，我们要对系统做一些线性变换，做一些线性变换。那么，线性变换的目的通常是把系统变成某种规范形式，比如说可控标准型，可观标准型或者是约当标准型。那么，变成这样的标准形式，我们要注意一点，在这个过程当中，我们做的线性变换呢，是等价变换。所谓等价变换呢，是指没有改变系统原有的特性啊，没有改变系统原有的特性。那么，这种等价变换，我们来看一下，如果这是变换前系统的状态，空间表达式，这是变换后系统的状态，空间变表达式。那么，所做的这些变换，从a到a，从b到b，那么这些变换呢？它一定是线性变换，那一定是线性变换。这种非歧义线性变换，它的不变性指的是什么呢？是指在做了非歧义线性变换的前后，我们没有改变系统的固有属性。包括它的特征值所对应的传递函数矩阵，它的可控性，可观性等等，这些方面我们都没有改变那。那都没有改变，在做啊，非线性的，非歧义的，线性变换的过程当中，我们要注意一个对偶原理，那对偶原理。也就是说，如果有两个系统，它是互为对偶关系的，那么要注意。在。变换的前后，如果s1可控，那么s2是可观，如果s1可观s2呢？是可控这种对偶性原理。我们呢，要格外注意，那么有的时候我们会对一个线性系统来做结构分解，常见的结构分解呢，有两种方式。一个是可控标准分解，一个是可观标准性分解啊，可观性标准分解。从可控性，可观性的角度出发，如果我们能够把状态变量啊，如果我们能够把状态变量分解为。可控可观测，变量可控不可观测，变量不可控可观，变量不可控不可观变量四类。那状态变量可以分解为四类，与此对应状态空间呢？我们可以区分为四个子空间。在这四个子空间里，边所对应的状态呢，是不一样的。嗯，那么我们把这样的一种分解叫做系统的规范分解啊，规范分解，规范分解呢，更能明显的揭示系统的结构特征和传递特征。分解的途径是什么呢？我们从可控或者可观性的矩阵当中选出来线性无关的列。注意可控分解选的是线性无关的列可观分解选的是线性无关的行。经过扩充以后构成非歧义矩阵，也就是我们刚才呢，在这里见到的这个p。见到了这个p，利用这个非歧义矩阵来实施我们所对应的线性变换啊，所对应的线性变换。这是我们对系统可控可观性的分析啊，可控可观性的分析，那么对于系统的分析，除了可控可观的分析之外。还包括对于系统稳定性的分析，稳定性的分析。我们在状态空间分析法里边提到的稳定性，是和我们在经典控制理论里面提到的稳定性有所区别的。啊，我们现在呢，定义了一种新的稳定性，叫做利亚普诺夫意义下的稳定性。这种稳定性是这样来界定的，如果我们认为满足满足这样一个微分方程的。它的解xe叫做平衡状态。我们假设系统它有初始状态x0。以位于这个x0呢，位于平衡状态xe为球心。德尔塔为半径的闭合区域内，闭合区域内，也就是说，如果我们以xe。平衡状态作为球心，以德尔塔作为半径，在这样的闭合的。这样的一个闭环域内，闭环域内如果从任意的初始状态x0。到达这个平衡状态，到达这个平衡状态，它的值都是小于德尔塔的。我们认为我们认为在这个时候，如果能使刚才这个系统方程。系统方程在t趋近于无穷的过程当中，都位于以xe。作为球心任意规定的半径epsilon啊，作为。半径的这样的一个闭环区域内，有这样的一个关系，我们认为系统的平衡状态xe呢？它是里亚普诺夫意义下的稳定。啊，先定义了一个平衡状态，这个平衡状态呢，是指由任意的初始状态，经过一段时间都可以转移到平衡状态，而这个时候呢，在任意。规定的区域内，当t趋近于无穷的过程当中啊，这个不等式，如果成立，我们认为现在的系统。处于里亚普洛夫意义下的稳定，那么有了里亚普洛夫意义下的稳定以后，我们又更进一步的有了一些啊，详细的稳定性，那详细的稳定性。比如说一致稳定，一致稳定呢，它是指稳定性是与起始时间无关的啊，稳定性。与起始时间无关，这是啊。一致稳定而大范围稳定，是指系统的稳定性。它与初始状态无关，与初始状态无关。那么，如果系统它处于平衡状态下，当受到了一个脉冲扰动以后。这个系统的运动运动能最终无限的逼近于平衡点。如果系统原先处于平衡状态下，现在有了一个扰动，那么在扰动的作用下消失以后。系统的运动最终能够无限的逼近于平衡工作点，这个时候我们认为。系统，它处于渐进稳定啊，处于渐进稳定，这是对于稳定性进一步细化的分析。

有了稳定就有不稳定，那么不稳定是指什么呢？首先可能平衡状态找不到。其次，如果能够找到平衡状态，我也找不到那个无穷小的区域，半径区域半径。这个时候在这种情况下，不管找到的他，如果能找到。哼。如果能找到，那么不管德尔塔和EP龙多么小，多么小。只要存在一个初始状态，能够使这个不等式大于e物西龙，我们都认为都认为系统的稳定性与输入是没有关系的啊，是没有关系的。那么这个时候呢，系统它处于不稳定状态，那处于不稳定状态，这是我们提到的稳定性啊。利亚普诺夫意义下的稳定性，它的一个概念。

那么，怎么样来判定一个系统在利亚普诺夫意义下是否稳定呢？我们提出了两种判定方法。第一种叫做利亚普诺夫第一法啊，第一法也叫做间接法，这种方法是这样说的。对于一个线性定长的系统而言，如果它的初始状态等于x0，那么系统的每一个平衡状态。要想。成为利亚普诺夫意义下的稳定必须满足的充要条件是。状态矩阵a，它的所有特征值都具有非正的十步。这个非正有两重含义，要么是负十部，要么呢等于零。并且具有临时部的特征值，临时部的啊，如果为零的话，特征值，那么这个时候它的特征值是。是a的最小多项式的单根，在这种情况下，我们认为这个系统具有了利亚普诺夫意义下的稳定性。而系统的唯一平衡状态，这个xe=0如果是渐进稳定的，渐进稳定的，也就是说。加了扰动以后，平衡被打破，当扰动消失以后，系统的运动无限的逼近于这样的一个平衡状态。它的充要条件呢？是a的所有特征值都具有副实部，这实际上和经典控制理论呢是一致的，那是一致的。这是第一种判定利亚普诺夫稳定性的方法，第二种我们就要从能量角度来考虑了啊，从能量角度来考虑。

里亚普诺夫第二法，我们认为，如果我们能够找到一个能量函数，这个能量函数我们把它叫做里亚普诺夫函数。这个里亚普诺夫函数呢？它是一个镇定的标量函数啊，比如说记作vx。镇定的标量函数那么对于。定长系统对于定长系统如果存在一个具有连续意。一阶导数的标量函数。它满足本身这个标量函数是正定的，它的一阶导是负定的。当状态无限趋近于无穷的时候。这个标量函数也是趋近于无穷的，我们认为系统它在原点是大范围渐进稳定的。啊，在用里亚普诺夫第二法来判定稳定性的时候，要注意我们要选择一个恰当的里亚普诺夫函数。这个普罗夫函数呢，还必须是正定的，同时它的一阶导要是负定的，当x的模无限逼近于无穷的时候。这个标量函数也是趋近于无穷的，在这种情况下，我们认为系统它是大范围渐进稳定的。而如果这个能量函数它本身镇定，它的导数是负半定负半定。啊。当它为镇定在非零状态下不恒为零，那么注意这两个条件的约束和刚才的大范围渐进稳定啊，有了区别。那么这个时候呢，我们认为这个系统它在原点也是大范围渐进稳定的啊，也是大范围渐进稳定的。也就是说，标量函数vx它的一些导，如果是复定和负半定的时候想要判定系统大范围渐进稳定，它的约束条件。啊，还是有所区别的，那有所区别的。而如果如果它本身是正定一阶导是负半定没有了没有了它的一阶导，为正定在非零状态下不很为零。这样的约束，那么这个时候啊，我们来看一下，它是在认定非零状态下存在恒为零。恒为零，那么这个时候我们认为这个系统在原点是利亚普诺夫稳定，但是它不是。渐进稳定不是渐进稳定，这是。第三种判别情况。而如果。vx是镇定它的一些导，也是镇定这个时候系统不稳定，相当于什么呢？相当于在这个过程当中，这个能量它的变化率是正的，在递增。那么，运动过程当中，能量在递增，它很难稳定下来啊，很难稳定下来，这是第四种情况，不稳定，不稳定。

这种里亚普诺夫第二法，也就是这种从能量函数角度出发的判定系统稳定性的方法。在系统的分析当中，经常会用到。比如说对于一个线性定长的连续系统而言，如果这个状态矩阵a是个非歧义矩阵。原点是它唯一的平衡状态，也就是说它的平衡状态就在坐标原点。这个时候我们判定标量函数是正定还是负定，我们通常选取二次型函数来作为里亚普诺夫函数。这个二次型函数，它的选择注意是这样的，那么在这里啊，所对应的。标量函数的导数就应该是这么多。想要判定系统现境稳定的充要条件，现在发生了改变。我们认为，对于一个给定的正定对称矩阵q而言，正定矩对称矩阵q而言。如果存在正定矩阵。注意对称，正定对称矩阵p满足a的转置乘以p+PA，它等于负q。等于负q那么在这种情况下，在这种情况下，我们认为系统是渐进稳定的，是渐进稳定的。这个式子非常重要，怎么来找这个正定对称矩阵p啊？正定矩阵p显得非常重要。对于连续系统而言，想要判定它在连续状态下渐进稳定的充要条件，是要找一个类似于镇定矩阵q这样。这样的一个啊，镇定矩阵，然后呢，存在一个镇定的对称矩阵p，让它满足注意a，现在发生了变化，在离散的系统当中是一个对应的g。它如果成立，我们呢，认为它是在x1=0渐近稳定的啊，渐近稳定的。而如果这个标量函数它不恒为零，那么这个时候我们选择的这个矩阵q，它只需要是正半定的矩阵。就可以了啊，就可以了，怎么样给定q来验证p怎么样给定p来验证q？这个呢，在考试的过程当中，我们也会见到刚才呢，我们是分析的系统，在利亚普诺夫意义下，如何来判定它的稳定性。以及大范围稳定，渐进稳定等等，这样的一些详细的判定，

而除了里亚普洛夫羿下的稳定之外，我们还有一种稳定性。这种稳定性，我们是这样来界定的。一个是有界的输入，产生有界的状态，这样的稳定，它是这样来定义的。如果对于一个任意给定的有界的啊初始状态而言，假如他能够在任意。有界输入ut的作用下，使状态xt呢？都有界，也就是说现在这个系统。它在初始状态和有界输入的情况下，使状态都有界，我们把它叫做有界输入有界状态稳定。除此之外，就是我们以前在经典控制理论里面最常见的有界输入。有界输出稳定。这是它是这样定义的，对于任意有界的初始状态，如果存在任意有界的输入ut。那么，对应的输出如果都有，借我们把它叫做有借输入有借输出的问题。如果线性定长系统，它是渐进稳定的，那么对应的从有界输入有界状态，有界输入有界输出这个角度来看。衡量的话，这两种稳定性，它同时满足。而反过来，如果它是有界输入，有界输出的稳定，不一定它的状态在有界输入下也稳定。判定一个线性定长系统有界输入，有界输出的稳定性，判别方法主要是依据传递函数矩阵来进行。如果这个传递函数矩阵所有的几点全部位于左半的俯平面内，它呢，就是稳定的啊，就是稳定的。这是我们啊，这是我们讨论的啊，对于一个系统如何来判定它的稳定性啊，判定它的稳定性。这样的话，我们建立起来了，状态空间表达式以后分析了它的可控性，可观性，稳定性，稳定性。以及利用状态矩转移矩阵，我们还可以讨论它的状态，转移关系，也就是运动过程。

那么，分析的目的是为了综合，也就是设计。我们来看一下，如果现在系统的性能不能让人满意，我们可以通过什么样的途径？来在状态空间，这种数学模型的基础上，改善系统的性能呢？我们来看一下线性定长系统，它的反馈结构以及所对应的。状态观测器那所对应的状态观测器。

常用的反馈结构呢啊，我们回忆一下，在经典控制理论里边，我们一体反馈。反馈它可以自动的纠正偏差，从而呢，改善系统的性能。在状态空间模型里边反馈，可不可以用呢？尤其是针对于状态是否可以进行反馈呢？比如说我们想调节状态，那么我们可不可以针对这样的一个状态来做一个反馈呢？我们来看一下常用的反馈结构，常用的反馈结构，第一种就是状态反馈。而这种状态反馈，它又可以分为两种形式，一种是反馈到参考输入，比如说我们来看这样的一个结构。真的。是系统的啊，原型的外加激励了我们来分析一下，那分析一下。嗯，在这种形式当中反馈呢，它反馈到了参考输入。参考输入，这是常见反馈的一个重点。还有一种反馈。还有一种反馈在这里，我们来看一下。如果它的结构是这样的话。在这种情况下，这个反馈呢，它是反馈到了啊，所对应的所对应的状态微分。那么，这两种情况下，这两种情况下，所对应系统它呢？从状态反。所对应的闭环动态方程有没有区别呢？我们先来看这样的一种情况，这是呢，从状态反馈到了参考输入。那么，在这样的一个系统当中，想要得到状态的导数，这个的这个状态的导数呢？实际上是它和它的一个叠加。而这两路信号分别来自于谁呢？一路是来自于ax，还有一路是来自于bu。bu而这个bu它又来自于谁来看？bu又是一个比较环节的输出，这个u。u呢，它又等于v-k倍的x，我们如果把u带到这里边，我们会发现。状态的微分等于a- 1个bk x，再加上一个bv。而这个时候，系统的输出，如果用状态来表示就是一个cx，这是从。状态反馈，也就是说从。啊，反馈到了参考输入反馈到了参考输入在这个时候所对应的啊动态方程。那么，用状态反馈任意配置可以任意配置单输入系统闭环几点的充要条件是什么呢？也就是说，我们增加了这样的一个反馈，以后可以改变系统的几点，那么这种改变如果能够做，能够实现。它的充要条件系统是可控的，系统是可控的，注意状态反馈，它不改变系统的可控性。但是会改变系统的可观性，可观性原因在于状态反馈，它没有改变闭环传递函数的零点。那没有改变闭环传递函数的零点，除了状态反馈之外，还有一种方式叫做输出反馈。从输出端进行的反馈，我们把它叫做输出反馈，那么这种输出反馈又有两种形式。一个是反馈到状态微分状态微分，还有一种呢，反馈到了参考输入。刚才这里也是两种形式，一种反馈到状态微分，一种反馈到参考输入，注意啊，都是一样的。那么，对于这样的一种输出反馈而言，我们来分析一下，在反两个反馈介入以后。x的一阶导，它就应该等于bu+ax这个是不变的，这个是不变的。那么变了谁呢？这个时候我们来看uu呢，现在它等于。v再加个fy v-fy，而这个y它又等于谁呢？y又等于cx这样的话，我们把y带到u里边，把u带到啊x的一阶导里边。我们可以得到这种输出反馈制，输出反馈它是状态微分的闭环动态方程。是这样的啊，是这样的。用输出到状态微分的反馈，我们可以任意配置单输出闭环几点？它必须满足的充要条件是系统可观，也就是说如果我们用状态反馈，必须满用状态反馈配置几点？系统呢，必须要满足是可控的，而如果要用输出反馈来配置几点系统，它必须呢是可观的。介入了输出反馈以后，我不改变系统的可观性，但是会改变系统的可控性啊，可控性。

输出到参考输入的反馈，它不改变系统的可观和可控性，什么意思呢？来在这种反馈输出反馈。里边反馈到了我们的状态，微分的这个内环，它会改变系统的啊，会改变系统的可控性，但是不改变系统的可观性。而这个从输出反馈到了参考输入的外环，它呢，不改变系统的可控可观性可控可观性。

如果现在我们借助于输出反馈或者状态反馈都没有达到几点配置的目的，那么在这种情况下，我们还可以考虑采用状态观测器。采用状态观测器。那么我们通过啊，用被控对象，它的输出量和输入量来建立状态观测器。重构状态，重构状态，这种状态观测器呢，又可以分为全维状态观测器和降维状态观测器。那么，区别是在于状态观测器的状态向量，它的为数与被控对象状态向量的为数是？是不是相等我们来衡量的啊？来衡量的那么当我们引入了状态观测器以后，我们来看一下。这个状态观测器的设计需要注意什么？加加入状态观测器，主要呢是用来重构状态，重构状态，那么这个时候啊，在重构的过程当中。如果用到了全维状态观测器的话啊，全维状态观测器的话，它的结构呢？我们来看一下。我们来看一下，这是一个全维状态观测器，它的结构图，它的结构图，那么在这个结构图当中，我们的重点呢在于设。设计这个h证啊h证这个h证呢，它是按照几点配置的，需要来进行选择的。而且在这种引入了状态观测器的啊，设计过程当中，我们观察一下。原来的状态已经不在原来的状态啊，已经不复存在了。形成了一个新的状态，也就是说，借助于状态观测器，我们重构出来了新的状态。而刚才在我们前面讲过的。不管是输出反馈还是状态反馈，这样的一个几点配置过程当中，系统的状态并没有发生改变。如果现在状态都要改变，必须借助于状态观测器来实现啊，来实现，那么这个h证它的选择啊，要决定于。状态估计误差衰减的速率，那决定了状态估计误差衰减的速率，我们通常希望。观测器的响应速度比状态反馈的响应速度呢要快。2到10倍2到10倍。这一点在选择h证的时候呢，是要注意的。那么，在我们现在利用了状态反馈或者输出反馈，改善了系统的几点配置，同时呢，又利用状态观测器重构了状态。在这样的情况下，如果被控系统它既可控也可观，那么这个时候我们利用状态观测器的估值形成状态反馈的时候。时候系统的几点配置和状态观测器的设计呢？可以分别独立进行，也就是说。反馈。当中这个k。反馈。当中的这个k我们引入的反馈措施和重构过程当中，这个h阵它的设计是可以独立进行的。我们可以分步骤来，分步骤来完成，怎么分呢？我们可以先来先来。讨论一下这个系统，先来设计这个系统的状态反馈。设计这个系统的状态反馈控制器，那么这个设计要注意这个状态反馈控制器的设计，实际上呢，就是在设计k证。啊，设计k阵设计完k阵以后，我们呢再来啊。如果设计好的状态，这种状态它不可以直接观测，也就是说通过状态观测器啊，状态反馈控制器的设计。设计完了以后几点配置好了，系统的状态还不可以直接观测，那么这个时候呢，如果状态不可观，我们再考虑设计观测器。哎，设计观测器利用状态反馈，也就是设计这个h阵了，利用状态反馈和观测器，它的增益矩阵。我们来构造适当的控制器。这是分离定理告诉我们的。设计系那在状态空间当中，设计系统的啊，一系列的步骤，一系列的步骤，

那么这是我们在第六，第九章提到的一些啊，重要的知识点，那第九章。提到的一些重要知识点，在复习了第九章的重要知识点之后呢，我们来看一下，如果第九章啊，在考试当中出现它针对的一些常见的考点有哪些？那主要考点。第一第一，状态变量以及状态空间空间，它的有关概念，那有关概念，也就是说如何来建立一个状态空间表达式。其中呢，要注意这样的几个问题，第一，传递函数矩阵，它的实现传递函数矩阵的实现。可以通过几种途径，那么系统常见的规范形式有几种啊？规范形式有几种？怎么从状态，空间表达式来求传递函数矩阵以及系统的转移矩阵？如何求转移矩阵？它的性质有哪些？啊，有哪些？还有线性定长连续方程的求解，也就是怎么样我们来分析系统的运动过程啊？运动过程。这是第一个方面的考点，第二个方面我们还会让大家呢，大家还会经常见到关于可控性，可观性它的一个判断啊判断。比如说给你一个电网络，给你一个电网络，那么怎么来看一下它的可控可观啊？可控可观。判定的判据判定的判据以及它所对应的一些应用啊，所对应的应用。还有可控性，可观性与传递函数，它的一些关系，那可控性，可观性与传递函数的关系。这点呢，在我们复习的时候也要注意，那也要注意。呃，这是我们第二个方面需经常会见到的考察方式，再有第三个方面。我们经常会对系统的状态空间呢，做状状态空间表达式做一定的变换，那么这种非歧义线性变换。它为什么不改变系统的性质？常见会有一些证明，再有状态，空间表达式，它呢？怎么化成？标准形式从一个不标准的形式经过非歧义的线性变换变为标准形式。在这里边要注意可观可控，它对偶原理的应用以及怎么样把系统来做按可控可观性。做规范分解。分解为四个部分，可控可观，不可控不可观，可控不可观和可观不可控啊！如何来做分解？那么，这是在分析的时候需要注意的问题呃，再有。我们还可以利用状态反馈来配置系统的几点配置系统的几点，那么在单输入单输出的。系统当中，实际上我们就是设计一个状态反馈矩阵k，利用这个k来对几点进行配置？输出反馈，它可以任意配置系统的几点？其中，这个输出反馈矩阵h，它的确定再有全维降维观测器，它的设计。其中呢，降维大家呢，就不用考虑了。哎，不用考虑了，如果考察观测器一般也就考察到全维观测器为止，那为止，那么在分析里边还会有对于稳定性的一个考量。什么叫做利亚普诺夫？他的稳定性啊。如何选取那个标量函数，也就是那个能量函数，这个标量函数，它的定号性定号性。概念以及判别平衡状态该该如何求解啊？平衡状态该如何求解？用里亚普洛夫函数以及直接法它的四个定理来判定系统的稳定性，稳定性。线性定长系统怎么样由p。来得到q怎么样？由q来验证p，也就是说p和q的镇定对称。它的证明正定对称，它的证明以及利用pq来得到一个。a的转职p+PA满足负q这样的一个关系式来判定系统的稳定性以及有界输入，有界状态，有界输入，有界输出稳定性，它的一个。判据，这是我们第九章常见的一些啊，考点常见的一些考点下面呢，我们就针对这些考点呢，给大家一些典型的例题呢。加以复习巩固，那加以复习巩固，

下面呢，我们就针对刚才我们提到的考试里面常见的这些个考点呢啊，用一些典型例题来加以巩固。啊，首先我们来看第一个题，第一个题呢是这样的，已知某单位负反馈系统，它的状态空间描述给了你，它的状态空间模型。让我们求这个系统的传递函数，也就是说在状态，空间，模型，表达式这种数学模型和传递函数这种数学模型之间呢来转换。然后第二问呢，让我们判断系统的状态可控性，输出可控性，可观性。那么也就是说，在我们知道了系统的状态，空间模型的基础上怎么样来判定它的这样的可控性，可观性？第三种，让我们来求系统的可控标准型。可控标准型，那么这实际上呢？就。就是让我们在知道了传递函数第一问求出来了，传递函数在它的基础上，我们来啊来写出来它的可控标准型。下面呢，我们就来做一下这个题。

第一，问求传递函数已知状态，空间表达式求传递函数，我们可以考虑采用几种途径。其中呢，最常见的方法，最常见的方法，我们习惯于用啊拉屎。变换法那拉式变换法，或者说我们先求出来si-a这个矩阵对它来求逆。对它来求逆，求完它以后，我们按照一个系统的传递函数，系统的传递函数在已知状态空间的结构的情况下。等于c倍的si-a，它的一个逆乘以b+d。按照这样的一个公式，所以这样的一个计算传递函数的公式呢？大家一定要牢牢记住的，按照它呢来求系统的传递函数。而这个东西，它等于谁呢？a的结构我们已经知道了a的结构，我们已经知道了。那么，我们能够计算出来，它所对应的就是对s- 2啊，然后呢？负四。负五零。x- 1负一零，负1 x- 1来求它的逆。这个呢，求出来以后等于ss+2^2哎ss- 2^2s。s- 2 4 s+1。然后对应5 s- 100。啊，我在这里直接给大家结果了，那么在这里需要大家呢？对于行列式的计算，矩阵的计算要非常熟练的啊掌握。好，我们计算出来了s-i-a它的逆阵以后，然后带到传递函数的表达式里边。我们可以求出来这个系统的传递函数，就应该等于ss- 2^2分之1c是多少呢？c是100啊100。然后100这样的一个二行列式再来矩阵，乘以一个s。哎，带进去上面的东西。对它再来乘以。一个BB在这里是多少呢001？由于在我们的输出方程里边没有d的存在，所以呢，我们不需要再加d了，这样的话我们可以得到。系统的闭环传递函数就等于5 s- 1对这个行列式来进行一下啊，计算s立方。减去4s的平方，加上4s得到了这个系统，它的闭环传递函数。如果闭环传递函数知道了，那么开环传递函数我知道不知道呢，我们来看一下。闭环传递函数不就等于gs，这是一个单位负反馈，然后比上1+gs吗？从这里边我们可以解得。开环传递函数就等于闭环比上一减去，闭环等于5 s- 1比上s立方。减4s的平方，减s+1-s+1那么这样的话，我们就完成了第一问，我们求出来了，这个系统的开环以及闭环传递函数。

第二问，让我们判定系统的状态可控性，输出可控性和可观性。那么，在这里，我们利用质判句对这三个方面的性能呢，分别加以判定。那么，要用质判句的话，在判定三种不同性能的时候，它的质判句的形式大家需要牢牢的掌握。如果判定的是可控性，这个时候。所对应的是b。aba的平方b所形成的矩阵所形成的矩阵，这个矩阵呢，通过计算，那大家把b和a自己带带进去计算一下。我们发现它的质呢，是等于三的质等于三，那么这是几阶系统呢？三阶系统，三阶系统在满质的情况下。这个系统是可控的啊，是可控的，这是可控性的判定。啊，如果我们接着要来判定它是不是满足可观性，我们需要。利用可观性的制判矩ccac a方构成一个矩阵。这个矩阵大家把c和a带进去以后算出来，它的质也是三。制也是三满制的，因此系统呢，它也是可观的，那么除了状态可控可观之外，我们还要判定输出可控。这种输出可控，我们又该如何判定呢？它的判定矩阵等于CA。cab CA方b所构成的一个矩阵，我们把cab带进去计算。带进去计算以后，我们发现这个时候它呢等于零。五九也就是说这个时候它的输出。也是可控的啊，输出也是可控的，我们利用啊，这样的三个判定法则判定出来了，这个系统。它的可控可观，输出可控性，那么这是在已知了传递函数的情况下啊，我们可以。呃已已知了状态空间的情况下，我们可以计算传递函数，然后呢，可以判定系统的啊，可控可关性。

第三，问求系统的可控标准型。那么，传递函数如果知道了，我们如果能够牢记住可控标准型的形式。和传递函数分子分母多项式之间的关系，我们就很容易能够得到状态矩阵，在可控标准型里边。它的r这个地方。对应的应该是1和1，其他地方呢是零，然后呢第三行我们是从传递函数。传递函数，它的这个分母多项式，也就是特征多项式，从常数项开始，然后呢，从左到右取相反数来排列。那么，从它的闭环传递函数当中，我们发现常数项是等于零的倒数，第二项呢？是等于四的。取它的相反数负四，那么这一项呢？是负四取它的相反数4a状态矩阵，我们就知道了。而这个b它等于谁呢？在可控标准型里面b就等于001001。c它是取决于输出方程当中的c它呢，是取决于我们所对应的传递函数的分子多项式。也就是说，把分子多项式的常数项啊，开始从左到右啊排列。负150这样的话，系统的啊，可控标准型，我们就知道了。它y。就应该等于一个cx，同时呢x1接到等于ax。加上bu，我们把ABC带进去，所对应的可控标准型，我们就能够啊，就能够写出来了。这是第一道题，那么

第一道题重点考察的仍然是状态空间表达式和传递函数之间的啊，相互转换关系以及。在知道了状态，空间模型的情况下，如何来判定可控可观性，还有怎么来把系统的啊状态，空间表达式呢，转化为标准型。标准型，所以我们说了，在我们整个控制原理，不管是经典还是现代的这个考题当中呢考。考察往往是综合性的，它考察到的考点都是不止一个好几个啊，好几个那么要把这些考点呢综合之间。综合起来，学会运用，这是第一个题，

第二个题呢，我们来看一下。它是这样的，也是已知了系统的状态，空间表达式啊，让我们求系统的状态转移矩阵。那么，要求状态转移矩阵，状态转移矩阵，我们要把握状态转移矩阵呢，就等于e的at。就等于e的at，那么怎么来求这样的一个状态转移矩阵？我们说可以用幂级数法，可以用凯莱哈密顿定理法，也可以用。拉式变换法啊，好几种方法都可以求的，第二步想要保证系统的能关性。能关性那么a该如何选职？刚才那道题当中。咳咳。我们是在已知了这个输出方程当中的c和对应的状态矩阵a的情况下利用。用质判句来判定它的可观性，而这个题实际上是可观性质判句它的一个。反向应用啊，反向应用，我假设它是可观的，那么这个时候所形成的这样的一个矩阵c。cca它一定得是满质的，一定得是满质的，然后在满质的情况下a该如何取值？这是第二问。第三问，让我们来求一下状态空间表达式，它的能官规范型，能官规范型。也就是说，如果现在我们想把这样的一个状态空间表达式转化为能观的标准型，该如何转化？我们观察一下，现在给我们的状态，空间表达式实际上已经具备了可控标准型的形式。那么，在已知可控标准型的形式情况下，怎么把它画成可观标准型呢？利用可控可观的对偶性啊，利用可控可观的对偶性，我们只需要把a做转置b和c互换就可以了。第四问，让我们用利亚普诺夫第二法什么叫做利亚普诺夫第二法呢？也就是说，找一个标量函数vx。利用这样的一个能量函数，它是不是会出现能量的衰减来判定系统的稳定性？所以在这个题当中，我们呢，又考察了很多个知识点，那么对于这样的知识点，我们分别来看一下，首先。

已知了a。我们要想来求状态转移矩阵，我们刚才说了密集数法可以拉式变换法，可以我们在这里呢。用一下大家并不常用的凯莱哈密顿法。啊，利用凯莱哈密顿定理来求一下，那么利用凯莱哈密顿定理怎么做呢？我们发现。这个时候状态转移矩阵，它是一个二级啊，或者说是一个啊。二阶的那么这个时候所对应的。状态转移矩阵phit=e的at就可以写作阿尔法0I。加上阿尔法1a，那么如果这是一个三阶的矩阵，这个时候呢，我们还要加上一个阿尔法2a的平方，要注意卡拉哈密顿定理。它的一个应用，如果现在阿尔法零阿尔法一我都知道了a和I，我们是已知的。那么，状态转移矩阵呢？我们就可以求出来了。这个阿尔法零和阿尔法a，我们又该如何求呢？想求阿尔法零和阿尔法a，那么这个时候我们必须要知道这个系统。它所对应的特征特征值特征值，那么这个系统的特征方程特征方程是谁呢？来系统的特征方程完全可以从状态，空间，表达式当中。得到它呢，就应该等于flambda=det对谁呢lambda I。减a来求它的行列式的值，也就是求lambda负1 lambda负一二。兰姆达加三，它所对应的行列式的值，我们对它整理一下，以后它就应该等于。拉姆达加一，拉姆达加二，因此它有两个特征值，分别是拉姆达1=-1。lambda 2=-2由于凯莱哈姆顿定律里边e的at它，应该呢，满足这样的一个关系。所以当我们的特征值lambda 1=-1的时候，对应的我们也有。e的负1t，它应该等于阿尔法零，阿尔法零。那么，如果现在我们把状态矩阵换成了特征值，这个地方呢？我们带的就不再是I和a了，带的呢是一。和所对应的特征值，阿尔法0+a一，阿尔法1×-1。而当拉姆达等于负二的时候e的负2t，它等于谁呢？它等于阿尔法0I换成一。再加上阿尔法一×1个负二，那么在这里在这里我们发现。想要求阿尔法零和阿尔法一两个方程，两个未知数，我们完全可以求出来。求出来以后我们发现。阿尔法零呢？它等于二倍的e的-t-e的负2t来，我们把这两个式子呢？加一下它乘以二，然后呢？哎，它乘以二，然后用它减去它，我们就可以求出来阿尔法零，而阿尔法一呢一样可以获得等于e的负t。减去e的负2t在阿尔法零和阿尔法一都求出来以后，我们把它带到。这个式子里面去代入一式啊，我们有状态转移矩阵，就应该等于二倍的e的-t-e。e的负2t乘以单位矩阵i，再加上e的-t-e的负2t乘以我们的a。状态矩阵，这样的话，我们就可以求出来这个系统的状态转移矩阵了，它等于二倍的e的负t。减去e的负2t，然后呢e的-t-e的负2t负的。二倍的e的-t+2倍的e的负2t负的e的负t。加上它好了，现在我们求出来了，这个系统的状态转移矩阵状态转移矩阵，也就是e的。at了啊，你的at了，在用凯莱哈密顿定理的时候一定要注意，一定要注意状态转移矩阵的表达式。在这个表达式里边，如果把状态转移矩阵状状态矩阵转化为特征值，它所对应的啊，怎么得到这样的一个方程，怎么得到这样的一个方程？这是第一问求系统的状态转移矩阵，在这里呢，我们用的是凯拉哈密顿定理来做的，你不用行不行？可以的，你可以用别的方法来尝试。

第二问，想要保证系统的状态，能关状态能关，那么这个时候a取何值？好了，已知系统是能关的。那么必然，我会有ccac和a呢？我们都知道的。代进去以后，它就应该等于1a负的2a1-3a1-3a。啊，得到了这样的一个结果啊，这样的一个结果CA，那么我们在满足满足这个行列式的值。矩阵所对应的行列式的值如果等于零的情况下，那么这个时候我们认为这个矩阵不是满制的，不是满制的，我们把让它等于零的点排除掉，那么剩。剩下的这个时候a的取值就可以让这个矩阵满质，这样系统也就可观了，所以只要我们能够满足。1-3a再加上一个2a方，它等于零。排除掉让它不等于零，那么这个时候满足这个不等式的a的值都可以让这个矩阵满式，也都可以让这个系统能关啊。啊能关，因此只要a不等于一也。不等于12系统，它就能关啊，就能关，这是一个制判句的反应用。第三个，

第三个题，我们刚才说了，通过观察给定我们的系统，它就具备了能控标准型。因此，我们很容易能够写出来这个系统的能关标准型，那我们在这写一下。能关标准型里边呢，输出输出方程，这里面的c。是能控里边的。b能够里面的b，然后做了一个转职，因此它就应该等于一个。01转置完了以后01x而状态方程x的导数应该等于谁呢？我们要对a做一个转置。因此，应该是01负二负3x这里边的b能空里面的b，现在我们要把c来做一个转置。就是一个eau eau，这样的话，我们就写出来了，这个系统的能关标准型，要注意能控能关，对偶性的音。右，这是第二问，

第三问，让我们用利亚普诺夫第二法来判别系统的稳定性。在我们用利亚普诺夫第二法来判定，判定系统稳定性的时候，我们要做的事情有这样的几件。第一，我们先要找一个平衡点。第二，我们要选择一个标量函数，在选完了以后，我们要来判定。在这个平衡点附近，它所对应的标量函数是否镇定？这个标量函数的导数是否镇定？从而判断系统的稳定性。那么，首先我们来看一下。它的平衡状态在哪里？所谓的平衡状态，实际上呢，就是让系统的。状态输出x1要等于0x2呢？也要等于零，也就是说也就是说。现在在这样的一个方程里面，想要让x1=0x2=0那么通过观察，通过观察它的平衡状态呢？只有一个，就在坐标原点，就在坐标原点，只有在坐标原点处，你看x1的一接导它等于谁呢？它等于x2。和排而这个x2的一阶导呢，它等于从状态方程里边我们发现等于负的2倍的x1-3倍的x2。只有x1和x2同时为零，它才能够满足系统平衡，所以呢，它的平衡工作点。就是坐标原点就是坐标原点，而我们在这里选择的标量函数vx呢，我们选择它。为这样的一个东西。选择它以后，首先这个标量函数，它本身已经镇定了，已经镇定了，这种选择那么有同学说，为什么选择它选择别的行不行？可以标量函数具有多样性，具有多样性，你可以选择别的，而我们试选它以后如果不合适，我们还可以换的啊，还可以换的，这里也存在一个经验的问题。它本身是镇定的，如果现在系统想要稳定，那么我们还需要进一步判断它的标量函数的导数。它的导数等于谁呢？等于四倍的x1的。x1再来乘以x1的导数，然后再加上二倍的x2。乘以一个啊，我们选择它呢，是这样的2倍的x 1^2+x 2的平方，那么完了，求导对它来求导就应该是四倍的x1。乘以x1的导数，再加上二倍的x2乘以x2的导数x2的导数。现在我们把这样的两个关系式状态与状态导数的关系式带到标量函数的导数里面去。我们有标量函数的导数呢，它等于四倍的x1x1的导数不是等于x2吗？再加上二倍的x2x2的导数呢，等于负的2倍的x1-3倍的x2。我们被它整理以后，它等于负的6倍的x2的平方好，这说明。当x1。不等于零。x2=0的时候。这个时候我们发现标量函数的导数是等于零的，也就是说现在这个vx。它的导数是负半定的，是负半定的。根据分析，这个系统在利亚普诺夫意义下，它是稳定的最低的要求。他在里亚普诺夫役一下，已经具备了稳定性。那么，进一步如果我们还想判断它是否是渐进稳定的，是否是渐进稳定的？我们需要经接着呢来讨论啊，如果我们要判断它的渐进稳定性，我们需要接着来分析。当x1不等于0x2=0的时候，它是不是很等于零？而是否恒等于零。我们发现现在它的一阶导呢，只和x2有关，因此只要x2=0，它就恒为零。它就恒为零。嗯，这个时候呢，我们要求x2呢，它在t大于t0的时候恒为零。t大于t0的时候，也就是说在t大于t0时，如果x2。它是恒为零的。横为零的。这个时候这个时候x2的导数x2的导数，它是不是很为零？是不是很为零？我们来看一下x2的导数呢？它是和x1和x2呢都有关系的。都有关系的，只有在x1也为零的时候x2同时为零。x2的导数呢？它才横为零，也就是说它横为零呢？是需要两个条件的。x2必须等于0x1也得等于零，这个条件它已经具备了，这个时候想要让它恒为零。还得满足x1恒为0x1恒为零，而系统的平衡点呢？就在坐标原点。也就是说，满足让x2的一阶导恒为零的点就在坐标原点。因此，我们可以认为，在x不等于零的情况下，也就是说状态没有位于平衡状态的情况下。这个时候呢，实际上它是不恒为零的。不恒为零的。这个时候这个时候我们认为我们认为想要让x1不等于0x2=0。它的一阶导等于零，一阶导等于零，这种情况它只能出现在状态轨迹。状态轨迹与标量函数。相切的地方。与这个标量函数相切处相切处。并且当x的浮值。范数横趋近于无限，趋近于无穷的时候vx呢？我们发现。它也是趋近于无穷的，也是趋近于无穷的，因此我们认为系统它在坐标原点。在坐标原点是大范围。渐进稳定的。在坐标原点大范围渐进稳定，那么这个题它的第四问第四问考。考察的是我们里亚普诺夫第二判据在选择了啊平衡，选择了标量函数，确定了平衡状态的情况下。如何判定系统是利亚普诺夫意义的稳定？如何判定系统是渐进稳定？渐进稳定？在利亚普诺夫的两个稳定性判据里边，第二判据呢，考察的是非常多的啊，考察的是非常多的，大家要格外重视啊，格外重视。那么，这个题又是一个综合性比较强的题，

再来看一下第三个题，第三个题刚才的两个题呢，我们都是在讨论系统的分析。那么第三个题呢？我们要对系统在分析的基础上进行一下设计。进行一下设计，这种设计实际上是对于一个状态反馈阵k的设计。通过选择恰当的状态，反馈阵达到几点，配置达到改善，系统稳定性或者说性能这样的一个目的。你看通过确定了，通过引入了状态反馈以后使几点呢？都具有了副实部。那么，系统它是处于稳定的，处于稳定的。

下边我们先来看一下状态可控和可观的判定。这个呢，我们就不多说了啊，不多说了呃，第一问。我们完全可以用制判句。来考量一下。这个时候啊，可控性的矩阵啊b。AB.a的平方b它的质这个质呢，我们算出来等于二是小于状态的状态，矩阵的质三的。所以我们认为系统的状态不完全可控。再有，由于由于x2的。导数等于x2状态二，它的导数等于哎应该是负的负的x2。那么，我们发现，对于状态x2而言，我们是不可控的，是不可控的。我们不可能通过状态反馈来改变负一这个极点啊。那么你看这个方程，它的特征跟几点就是负一啊？就是负一，那么对于这个几点，由于这个方程反映出来的关系是x2不可控。x2不可控，因此我们不能通过状态反馈改变负一这个几点，这点要注意，它是不完全可控的。不完全可控的几点是谁？我们明确了，然后呢？我们还要判断它的可观性，这要通过CA。它们之间构成的一个矩阵来判定，我们发现这个矩阵算出来以后，它所对应的质。啊质也是二这个呢，也是小于系统的质n的啊质三，因此这个系统啊这个诶。等于三啊，这个是错了，算出来是等于三的，算出来这个矩阵，它应该等于11102110。啊所对应的质呢是三等于系统的维数n，因此状态完全可观啊，状态是完全可观的。这是可控可观的判断。现在我们发现这个系统不可控，但是可观，所以我们可以考虑采用一个状态。反馈那么在这里一定要注意，我们采用的状态反馈是一个正反馈，是一个正反馈，因此在我们前面复习的过程当中。啊，状态反馈的时候，我们通常提的是负反馈，那么在正反馈的情况下u呢？它是等于。一个v+1个k。x的啊u=v+kx我们采用这样的控制规律啊，采用这样的控制规律。我们来看一下啊，刚才我们提到的这种状态反馈在这里，由于系统要求的是正反馈。所以呢，这里是叠加的关系u呢，等于v+1个kx。我们按照这样的控制规律，按照这样的控制规律，这个k呢等于k1。k2k3来时，系统最终的几点配置在负一负二负二。这个时候系统的闭环动态方程在这里，我们观察一下闭环动态方程。应该是。这里的减不再是减了，正反馈变成加了它的动态方程，变成了a+bk x。再加上bv，再加上bv。其中这个a+bk它等于多少呢？它就应该系统的a是已知的。110.零负10120再加上一个b呢，等于101×k以后。我们就有101×1个k1k2k3得到的结果等于一。一个k1+1k2+1k30。负10k1k2还有k3。加上3k3+3那么这样的话，我们发现引入了一个状态正反馈以后，系统新的动态方程。动态方程里边，它所对应的状态矩阵就变成了这样的形式啊，变成了这样的形式，那么对于它而言。改变以后的状态矩阵等于这么多，如果我发现我发现。那么，新形成了一个特征，多项式状态反馈以后，系统的特征，多项式它就应该呢，是对于这样的一个si。减去一个a+bk啊，以前这里是a，现在通过状态反馈，把状态矩阵改变了改变。改变了，如果它所对应的行列式，它所对应的行列式正好。它的三个根就是三个极点，那么这个时候我们就可以算出来k1k2k3了。这个行列式通过计算以后，它呢，等于s的立方减去k1，加上k3+2s的平方。再来加上一个k1-1s，加上二倍的k1，加上一个k3。再加二，再加二，这是在我们做了状态反馈以后，新的状态矩阵的情况下，对应的特征多项式。在这个计算过程的时候呢，我们要注意。计算这个行列式的时候。哼。由于特征多项式，由于特征多项式，它的s的零次幂，一次幂，二次幂，包括三次幂。它们的系数应该是k1k2k3的线性函数。所以不应该出现k1k2k3它的乘积项，因此在计算这个行列式的时候。如果出现了。k1.k2k3的乘积项，比如说出现了k1×k3，在这种情况下，乘积项我们可以略去。略去那么在这个题当中啊s它的各项系数s，它的各项系数当中，我们发现。诶和k2是没有关系的，也就是说k2完全可以取任何值。k1k3k1k1k3和k2没有任何关系，我们不妨就取k2=0k2=0。期望的特征多项式是谁呢？通过状态反馈以后，我们的几点配置完了？期望的特征多项式应该是这样的一个东西。展开以后s的立方加上5 s^2+8 s+4，那么。它应该和它是等价的，应该是等价的，怎么样才能够等价呢？我必须满足方程。啊，这个负的k 1+k 3+2应该呢等于五。k1-1=82倍的k1加上k3再加二应该等于四。等于四这样我们可以解出来k1k3再配合我们刚才任意选取的k2。我们就可以找到啊，状态反馈证k啊，状态反馈证k，这个时候我们的。第二问也就完了，完成了对系统的设计，那完成了对系统的设计。

这是我们刚才结合了三道综合性比较强的例题，把我们在第九章状态分析法这一章当中啊，所学到的大部分知识点予以了啊。啊，这样的一个巩固啊，加以巩固，那么由于。在这些考察现代控制理论的高校当中，它会针对这部分的内容啊，指定专门的教材，那么。你们可以是各个学校的考试大纲，选择具体的教材来加以复习，我们在这两讲当中，针对第九章的复习。都是都是针对胡寿松这本教材而展开的，那么大家呢，要视自己的情况而定啊。那么，我们的复习呢？就到这里了啊，复习就到这里了，到现在为止，我们对于胡寿生这本教材前九章的内容呢予以了详细的。详细的啊讲解，希望大家呢，能够从讲解过程当中理清思路，把握重点啊，得到一个比较好的复习结果。谢谢大家这一讲呢，我们就讲到这里，再见。