elseif (c(1)<-1) dc2=1-c(1); else dc2=-1-c(1); end dc=[dc1 dc2]';
8-10 双变量二阶系统如图8-27所示。要求：(1)讨论奇点及奇点类型；(2)在\(x_1-x_2\)平面上画出该系统的相轨迹图(\(a=d=1,b=c=0.5\))。
解 (1) 奇点与奇点类型。由结构图可知
\[\begin{cases}\dot{x}_1=-ax_1-bx_2\\\dot{x}_2=-cx_1-dx_2\end{cases}\]
因此有 \(x_2=-\dfrac{a}{b}x_1-\dfrac{1}{b}\dot{x}_1\)，综合各式并整理可得
\[\begin{cases}\ddot{x}_1+(a+d)\dot{x}_1+(ad-bc)x_1=0\\\ddot{x}_2+(a+d)\dot{x}_2+(ad-bc)x_2=0\end{cases}\]
定义 \(x=[x_1 \quad x_2]^{\mathrm{T}}\)，并令
\[\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{-(a+d)\dot{x}-(ad-bc)x}{\dot{x}}=\frac{0}{0}\]
可得系统的奇点为\((0,0)\)。系统的特征方程为
\[s^2+(a+d)s+(ad-bc)=0\]
其特征根为
\[s_{1,2}=\frac{-(a+d)\pm\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2}\]
下面分情况讨论特征根：
① 当 \(ad-bc<0\) 时，\(s_{1,2}\)一个为正实根，一个为负实根，奇点为鞍点。
② 当 \(ad-bc=0\) 时，有
\[\begin{cases}a+d>0，则 s_{1,2}一个为负实根，一个为零根\\a+d=0，则 s_{1,2}为两个零根\\a+d<0，则 s_{1,2}一个为正实根，一个为零根\end{cases}\]
③ 当 \(ad-bc>0\) 时，有
\[(a+d)^2-4(ad-bc)<0\begin{cases}a+d>0，则 s_{1,2}为两负实部共轭虚根，奇点为稳定的焦点\\a+d=0，则 s_{1,2}为两共轭虚根，奇点为中心点\\a+d<0，则 s_{1,2}为两正实部共轭虚根，奇点为不稳定焦点\end{cases}\]
\[(a+d)^2-4(ad-bc)>0\begin{cases}a+d>0，则 s_{1,2}为两负实根，奇点为稳点的节点\\a+d<0，则 s_{1,2}一个为正实根，一个为负实根，奇点为不稳定节点\end{cases}\]
(2) 绘制相轨迹。当 \(a=d=1,b=c=0.5\) 时，根据(1)中的讨论可知，其特征根为两负实根，是稳定的节点。最后，利用下列MATLAB程序绘制其相轨迹如图8-28所示。
MATLAB程序：exe810.m
t=0:0.01:10;
图 8-27 双变量二阶系统结构图
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