计算朱利阵列中的元素 \(b_k\) 和 \(c_k\) 如下:
\[
b_k=\begin{vmatrix} a_0 & a_{n-k} \\ a_n & a_k \end{vmatrix} ; \quad k=0,1,2,\cdots,n-1
\]
\[
c_k=\begin{vmatrix} b_0 & b_{n-1-k} \\ b_{n-1} & b_k \end{vmatrix} ; \quad k=0,1,2,\cdots,n-2
\]
所以
\[
b_0=\begin{vmatrix} a_0 & a_4 \\ a_4 & a_0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0.002 & 1 \\ 1 & 0.002 \end{vmatrix}=-1
\]
\[
b_1=\begin{vmatrix} a_0 & a_3 \\ a_4 & a_1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0.002 & -1.368 \\ 1 & 0.08 \end{vmatrix}=1.368
\]
\[
b_2=\begin{vmatrix} a_0 & a_2 \\ a_4 & a_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0.002 & 0.4 \\ 1 & 0.4 \end{vmatrix}=-0.399
\]
\[
b_3=\begin{vmatrix} a_0 & a_1 \\ a_4 & a_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0.002 & 0.08 \\ 1 & -1.368 \end{vmatrix}=-0.083
\]
\[
c_0=\begin{vmatrix} b_0 & b_3 \\ b_3 & b_0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & -0.083 \\ -0.083 & -1 \end{vmatrix}=0.993
\]
\[
c_1=\begin{vmatrix} b_0 & b_2 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & -0.399 \\ -0.083 & 1.368 \end{vmatrix}=-1.401
\]
\[
c_2=\begin{vmatrix} b_0 & b_1 \\ b_3 & b_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & 1.368 \\ -0.083 & -0.399 \end{vmatrix}=0.513
\]
根据计算结果可作出如下朱利阵列:
| 行数 | \(z^0\) | \(z^1\) | \(z^2\) | \(z^3\) | \(z^4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.002 | 0.08 | 0.4 | \(-1.368\) | 1 |
| 2 | 1 | \(-1.368\) | 0.4 | 0.08 | 0.002 |
| 3 | \(-1\) | 1.368 | \(-0.399\) | \(-0.083\) | |
| 4 | \(-0.083\) | \(-0.399\) | 1.368 | \(-1\) | |
| 5 | 0.993 | \(-1.401\) | 0.513 |
由上述阵列得出三个约束条件为
因 \(|a_0|=0.002,a_4=1\),满足 \(|a_0|<a_n=a_4\);
因 \(|b_0|=1,|b_3|=0.083\),满足 \(|b_0|>|b_{n-1}|=|b_3|\);
因 \(|c_0|=0.993,|c_2|=0.513\),满足 \(|c_0|>|c_{n-2}|=|c_2|\)。
又因为
\[
D(1)=1-1.368+0.4+0.08+0.002=0.114>0
\]
\[
D(-1)=1-1.368(-1)^3+0.4(-1)^2+0.08(-1)+0.002=2.69>0
\]
因此,朱利判据的稳定条件都得到满足,故该系统是稳定的,即该系统特征方程式没有位于 \(z\) 平面上单位圆上和单位圆外的根。
· 385 ·