题海 · 题海解答 · p.538
证明 采用反证法。设系统不可控或不可观测。
系统的可控和可观测性矩阵分别为
\[S=[b\quad Ab\quad \cdots \quad A^{n-1}b],\quad V=[c\quad cA\quad \cdots \quad cA^{n-1}]^{\mathrm T}\]
因此
\[V\cdot S=[c\quad cA\quad \cdots \quad cA^{n-1}]^{\mathrm T}[b\quad Ab\quad \cdots \quad A^{n-1}b]\]
\[=\begin{bmatrix} cb & cAb & \cdots & cA^{n-1}b \\ cAb & cA^{2}b & \cdots & cA^{n}b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ cA^{n-1}b & cA^{n}b & \cdots & cA^{2(n-1)}b \end{bmatrix}\]
由于 \(cA^{n-1}b=\alpha\neq0,cA^{k}b=0,k=0,1,2,\cdots,n-2\),故 \(\det(V\cdot S)=\alpha^{n}\neq0\),所以有 \(\det V\neq0\),\(\det S\neq0\)。若系统不可控或不可观测,显然有 \(\det V=0\) 或 \(\det S=0\)。与上式相矛盾。因此,表明该系统既可控又可观测。证毕。
9-56 设系统\((A,b,c)\)是其传递函数的最小实现,其特征多项式有重根。试证明:该系统不可能实现对角规范化。
证明 如果\((A,b,c)\)是系统的最小实现,设\(\det(sI-A)=n\),则任何一个 \(n\) 阶实现都是可控与可观测的,经过任何相似变换后,同样可控可观测。
采用反证法。假设系统可以对角化,即存在一种相似变换可以使系统对角实现为\((\bar A,\bar b,\bar c)\),其中\(\bar A=\mathrm{diag}\{\lambda_i\},i=1,2,\cdots,n,\lambda_i\)为相异的特征多项式根。
由于系统的可控性矩阵和可观测性矩阵分别为
\[S=[\bar b\quad \bar A\bar b\quad \cdots \quad \bar A^{n-1}\bar b]=\mathrm{diag}\{\bar b_1\quad \cdots \quad \bar b_n\}\cdot \begin{bmatrix} 1 & \lambda_1 & \cdots & \lambda_1^{n-1} \\ 1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \lambda_n & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}\]
\[V=\begin{bmatrix} \bar c \\ \bar c\bar A \\ \vdots \\ \bar c\bar A^{n-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}\cdot \mathrm{diag}\{\bar c_1\quad \cdots \quad \bar c_n\}\]
因此根据范德蒙矩阵性质可得
\[\det S=\prod_i^n \bar b_i \prod_{i>j}(\lambda_i-\lambda_j),\quad \det V=\prod_i^n \bar c_i \prod_{i>j}(\lambda_i-\lambda_j)\]
假设\(\bar b_i,\bar c_i\)都不为零,因此若特征多项式有重根,则可控性矩阵\(S\)和可观测性矩阵\(V\)显然非满秩,系统不完全可控可观测,与已知相矛盾。所以若系统\((A,b,c)\)是其传递函数的最小实现,且其特征多项式有重根,则该系统不可能实现对角规范化。 证毕。
9-57 试证明:系统\((A,B)\)可控的充分必要条件是:系统\((A+BK,B)\)对于所有\(K\)均可控。
证明 充分性:若\((A+BK,B)\)对所有\(K\)均可控,则\(K=0\)时也成立,自然有\((A,B)\)可控。充分性得证。
必要性:利用PBH判据,由于\((A,B)\)可控,则\(\mathrm{rank}(sI-A,B)=n\)。由于
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